初中方程教学中数学思想方法的运用浅析

刘友锋
（上饶市信州区进修学校，江西  上饶  334000）
摘  要：初中方程从研究的课题来说，涉及到方程的概念、方程的解法、列方程解应用题、方程的讨论。这四个方面，方程的概念在课本中比较弱，没有什么展开，讲方程的同解的目的在于提供解方程的依据，而不在于研究解方程每步的同解性。本文将主要探讨数学思想方法在初中方程教学中的渗透。
关键词：数学思想方法；初中方程；渗透
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

方程的讨论，只对一元二次方程根的情况作些讨论，对于二元、三元方程组的讨论根本没有提，所以从整体上来看，方程的讨论不是重点的课题，剩下就是方程的解法和列方程解应用题，所以从研究的课题来说，初中方程教学应以解方程和列方程解应用题作为重点[1]。
一、方程和方程组解题的数学思想
方程的同解理论是解方程的重要依据，有的书把它们称为同解变换(也称同解变形)或等价变换。
（一）同解变换与恒等变换
恩格斯在其著作《自然辩证法》中表示：“这样的以一种形态向另外一种形态的转变并不是一种简单的、无聊的游戏，它是整个数学学科中最为重要的杠杆之一，如果没有它，今天就无法进行一个较为复杂的计算。”[1]。
首先，变换的对象不同，恒等变换是将一个表达式(在初中阶段主要是指代数式)变为与它恒等的另一个表达式。通常是脱括号、合并同类项或添括号、分解因式等，即形变值不变。而同解变换则是移项、各边乘以或除以非零的数等，即整个方程的形变而解不变；
其次是进行变换的依据不同。恒等变换一般用乘法公式等恒等变换公式；而在进行同解变换时，则以方程的同解理论为依据；
第三是变换的目的不同。恒等变换的目的是将一个代数式变成与恒等的便于我们研究的其它形式；而同解变换的目的是为了便于方程求解。
（二）同解方程的性质
定理一、方程两边同加或同减去一个数或整式，所得的新方程和原方程同解。
定理二、方程的两边同乘或同除以一个不为零的数，所得的新方程和原方程同解。
定理三、如方程一边可以分解为若干因式的乘积，另一边为零，则使各因式分别为零，得到的几个方程与原方程同解[2]。
二、数学思想方法在初中方程教学中的渗透
在教学时，需要说明这样几个问题：如果在方程的两边同乘一个数零，所得新方程一般和原方程不同解，这是因零乘任何数都等于零，把原方程的解集扩大为整个实数集。所以在定理二中添了“不为零的数”的条件。第二个要说明的是，如果方程两边同加或同减去一个分式或根式，有可能改变原方程的定义域，破坏了同解性。第三，如果方程两边同乘以一个代数式，所得新方程与原方程不一定同解[2]。
（一）理解题意(审题)
要想列出一道题的方程式就必须要对题意进行分析并能理解，也就是要先进行审题。审题要注意以下几点：
1、要找出题中的已知量和未知量，并分析已知量和未知量的关系，这种关系是以何种方式呈现的？例如：是和、差、倍、分这种直接给出的关系；由物理或者化学定律给出的（质量=体积×密度 ，m=v×p）；由一些生活常识给出的（来的或者去的路程是总路程的一半）
2、如果题中所要求的未知量不是一个，那就要分析这些未知量之间存在什么样的关系。
审题对解题非常重要，如果能够仔细审题的话有的时候甚至连方程式都不用列都可以得出答案。例如一瓶水连瓶1斤重，喝掉半瓶后，连瓶还有0.52斤，原来瓶里的水有多重？仔细审题后发现，一瓶油连瓶重1斤，半桶水连瓶重0.52斤，那么半瓶水是1—0.52=0.48斤，一瓶水是多少斤。
（二）未知数的选择（选元）
根据第一步的分析，从各个未知数里选一个未知数，这个未知数必须和已知数、其他来知数的关系比较多，而且用它来表示其他未知数和布列方程比较方便，把它作为“元”，一般用字母x来表示。为了区别于一般未知数，我们把确定为“元”的未知数称为未知元。
选择未知元是布列方程过程中非常重要的一环，没有未知元的等式就不能称之为方程式。由此可见，未知元不但是我们解题的目标，同时也是审题的核心。同时所选择的未知元还关系到所列方程的简与繁，因此，在布列方程时，应正确地选择未知元。未知元的选择有两个途径，一个是直接设元，就是一道题要我们得出什么就把什么设为未知元，在很多的解题过程中都会使用直接设元法。另一个途径是间接设元，这种方法不是将要求的元素作为未知元，而是在审题中找出一个和未知数有密切关系的未知数设为未知元，以方便解题 [3]。
（三）代数式的组成
从上一步可以发现，一旦设定了未知元，那么题中所有的未知数就都要用未知元进行表现，也就是要把题中所要求的数（或已设定的未知元）和题中其他的未知数所存在的关系用代数式进行表现，就是在解题过程中把题中的数量关系译成代数式[3]。
（四）建立方程
在方程式应用题的解题过程中如何建立方程是重要的一个步骤，要依据各种数量关系，将等量的两个包含未知元的代数式用等号连接，这就是建立方程。
（五）解方程
根据一般的方程的解法，求出方程的所有解，并且进行检验，判别经过变形后所得方程的解是不是原来方程的解，以及是否失去解。
三、结论
通过以上数学思想方程在初中方程教学中的应用与渗透，可以有效地帮助学生更好更快捷地去解答方程问题。

参考文献：
[1]杨未梅.初中数学教学中培养学生反思能力的策略[J].时代教育(教育教学),2010,(07):165-166.
[2]李宏流,陈云彩.把思考还给学生 让学生成为课堂的主人[J].中学物理,2009,(17):121-122.
[3]袁琨.由三节政治课互动教学片断引发的思考[J].中学课程辅导(江苏教师),2011,(07):108-109.