概率的实际应用

卢智梅

概率是研究随机现象的数学分支，在每年的新课程高考卷中，它主要是以填空题、解答题形式出现，重点考察等可能事件的概率和互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率。下面我们列举实际生活中的一些应用概率知识进行简单的判断与决策的应用题，旨在能够深刻领会这些知识，并能举一反三。

一、体育比赛中的胜率问题

例1 在乒乓球比赛中，若在甲对乙的某一局比赛中，每一球甲胜乙的概率均为 ，试求1）甲11:5获胜的概率 ；2）

甲以14:12获胜的概率 ；3）设 ，在出现10平后甲

以12:10获胜的概率比13:11拿下该局的概率大多少？

分析：甲11:5获胜是指前15分中甲以10:5领先，接下来又得一分，从而以11:5获胜；甲以14:12获胜是指甲乙两人打成10平后，接着11平，12平，最后甲连得两分才获胜；其余类推。

解：1）比分11:5表示实际比赛的情形是前15只球中甲共得了10分，且第16只球又赢得1分，

∴ =

2）比分14：12表示实际比赛的情形是两人先打成10平、11，到12平后甲又连得2分，∴

3）∵ ， =

注意到 类似有 ， ，由此不难看出，两个实力相当的选手在出现10平后要想赢得比赛，越向后越困难。

点评：比分问题关键是要弄清楚得分情况，再结合相关的概率公式计算即可。

二、系统可靠性

例2一个元件能正常工作的概率 称为该元件的可靠性，由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设所用元件的可靠性都为 （0< <1），且各元件能否正常工作是互相独立的。试求下面两个系统的可靠性，并比较它们的优劣。

（1）附加通路系统，它由两条两个元件串联的通路并联而成，如图所示

（2）附加通路系统，它由两对并联元件串联而成，如图所示

分析：本题要比较两个系统的可靠性，就是要比较两个系统正常工作的概率的大小。

解：系统（1）有两条通路，对每条通路，只有当每个元件都正常工作时，才能正常工作，故其可靠性为 ，所以，每条通路发生故障的概率为 。

整个系统发生故障，必定是两条通路同时发生故障，故整个系统发生故障的概率为 ，因此系统的可靠性为 ，可见系统附加了一条通路后，增加了可靠性。

再考虑系统（2）：从上述讨论中容易看出，每对并联元件构成的子系统的可靠性为 。

因为系统（2）由两个子系统串联而成，故可靠性为 ，现比较 与 的大小：

，所以系统（2）比系统（1）更可靠。

点评：本题看似与所学的概率知识无关，其实它考查的是相互独立事件同时发生的概率及对立事件的概率的综合应用。

三、得分问题

例3 、 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员， 队队员是 ， ， ， 队队员是 ， ， ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设 队、 队最后所得总分分别为 ， 。

（1） ， 的值可能有哪些？（2）求 ， 取相应的概率；

分析：因每场比赛都可胜可负， 、 两个代表队的胜的场次可以为3，2，1，0。

解：（1） ， 的可能取值分别为3，2，1，0，则 ，

概据题意知 ，所以 ，

点评：本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，同时考查了转化化归思想的应用。

本文列举了实际生活中的一些应用概率知识进行简单的判断与决策的应用题，旨在能够帮助同学们深刻领会这些概率知识，并能融会贯通。

作者单位：江西省赣县中学北区