高中数学几种类型错例分析及教学对策

林  玲

（镇江中学，江苏  镇江  212017）

摘  要：英国心理学家隶贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用，则是不能原谅的。”学生的错误是一种宝贵的资源，加以研究开发和利用，其效果比多讲几道题要好得多，从学生的角度去摸拟错误的情景，体验错误产生的原因，探索改错的方法，提出防范的措施，并从错中找出闪光点，师生之间才会产生思维的共振和情感的共鸣，如果你把所有的错误都关在门外，那么真理也要被关在外面了。

关键词：高中数学；错例分析；教学对策

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、审题不仔细引起的错误

题1：如图1，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形， 是 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 处，内壁 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为______________

常见错解： ①                                                

图1

由于受到思维定势的影响，很多学生处理的时候会根据已有的经验误认为米粒在容器壁外从而得到如下过程(如图2)：图2

② ,这种错误将展开图理解为整个侧面展开(如图3)

图3

正确答案： （如图4）

图4

错因分析：从教育心理学的角度来看，这其实是“迁移”对学习的影响。“迁移”是指学生在学习过程中出现的一种心理现象。学生对新知识的学习是在原有学习知识基础上得以发展的，原有的学习知识一般可以促进后继知识的学习，但有时也会干扰和阻碍后继知识的学习，所以迁移具有正负方向性。一般地我们把原有学习知识对后继学习知识的干扰称为负迁移，后继学习知识对原有学习知识的干扰也称为负迁移。教学中提到的有效迁移是指正迁移。数学知识的迁移总是发生在旧知识的基础上的，对旧的知识掌握得越扎实，理解得越深入，正迁移发生的可能性也就越大，负迁移发生的可能性也就越少，如果对旧的知识的理解达不到一定的水平，迁移是不可能发生的。有趣的是有些题目能够帮助学生形成“正迁移”以更好地掌握数学知识：

题2：等可能地取点 ，其中

(Ⅰ)当 时，求点P满足 的概率；

(Ⅱ)当 时，求点P满足 的概率.

点评：(Ⅰ)中的基本事件是可数的，是古典概型；而(Ⅱ)中的基本事件是不可数的，是几何概型。有的学生在处理这道题的时候会得到相同的答案，从而引起其反思，通过自我纠正最终解决问题。

二、分析不全面引起的错误

分类讨论中的界点问题、要考虑定义域的对数函数的单调区间问题，向量的夹角为锐角（钝角）等问题很容易因为考虑问题不全面产生错误。

题3：已知关于 的不等式 的解集为 ，集合 ，若 是 的真子集，则实数 的取值范围是_______

常见错解：

错因分析：这道题学生在第一次练习时的错误率很高，因为 是 的真子集，很多学生认为有： 而没有通过数轴演示发现集合 的长度是 而集合 的长度是2，这就意味着集合 的其中一个端点可以与集合 的端点重合，所以应该有： 究其错因主要是他们的网知觉分化能力比较差。心理学告诉我们：这一部分学生的知觉还带有不随意性，不能够很好地控制自己的知觉，所以对感知的对象分化水平就比较差，对事物也只能作笼统的整体感知。但是通过强化训练之后就能帮助他们形成“免疫能力”。作为教师，不能总是以“粗心”为理由批评学生。对于学生的“粗心”，也尽量不要采取正面惩罚的方式，以避免对学生粗心的强化。而是可以运用正强化的方法，比如在学生粗心时不去批评他，而是要耐心梳导。

正确解答：

题4：函数 的单调递减区间是________

常见错解：           正确解答：

题9：若向量 与向量 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是____

常见错解：

正确解答：

三、计算能力不足引起的错误

运算能力包括运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。对运算能力的考查，主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算。事实上，目前中学生运算能力的状况是很差的，不少老师埋怨：“学生的计算能力太差了，连简单的运算都过不了关，甚至数学基础好的学生运算结果也常出差错。”这些状况的出现原因是多方面的。有的学生不明算理，机械地照搬公式；有的则是不顾运算结果，盲目推演，缺乏合理选择简捷运算途径的意识；也有的学生对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是把“马虎”作为借口；也有相当多的老师只着重解题方法和思路的引导，而忽视对运算过程的合理性、简捷性的必要指导。这样不仅影响了学生思维能力的发展，也必然影响教学质量的提高。

基于以上论述，教师在教学的过程中要善于显化错误并利用错误。错误是在教学过程中动态生成的，它作为珍贵的教学资源是可遇也是不可求的，教师要善于捕捉学生认知过程中的错误，使它成为教学的新资源。