基于直观想象素养的数学概念课的设计与感悟

摘要：2017 年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中明确指出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”[1]直观想象素养作为六大核心素养之一，同样承载着提升数学核心素养的基本任务。 所谓直观想象是指“借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。”[1]简言之，就是在研究数学问题时用“直观的形”来表达“抽象的数”，用“精确的数”来研究“模糊的形”的一种数学思想方法。 

这次以绍兴数学名师工作室成员的身份观摩课例《方程的根与函数的零点》的听评课活动，觉得非常荣幸。下面笔者简述其过程，并把听课后的一些感悟与同仁们共探讨。 

一、教学流程 

象棋入局，巧设悬念 

问题 1：象棋中的“马”是如何跃过“楚河汉界”的呢？（如图 1） 

设计意图：教师利用棋盘形状引导学生建立坐标系，后又用“马”的跳跃路线联想到直线并引出函数解析式。 目的是以熟悉的背景出发，通过直观的棋盘图形构建出抽象的函数表达式。 问题 2：接下来请同学们来思考这样一个问题？ 

（1） 2x - 6 = 0 ，这个方程的解是 x = 3 ，并联想到y = 2x - 6 ；（如图 2） 

（2） ln x + 2x - 6 = 0 ，这个方程你能解吗？还联想到了什么？ 

设计意图：学生暂时无法回答。教师在此设置悬念，意在调动学生探究新知识解决新问题。 

归纳探寻，形成概念 

问题 3：对特殊的“一次方程与一次函数及图像”和“二次方程与二次函数及图像”的归纳探究，可从方程和函数及函数图像之间找到怎样的规律呢？ 

设计意图：先从特殊入手，为引出函数零点的定义及与方程根的关系做足准备。体现了“最近发展区”理论，认知新知识要从熟悉问题入手。 

承上启下，巩固概念 

例 1、函数 ( ) ( 1)( 2) ( 3) 2 f x = x - x + x - 的零点（ ） A。(1,0),(-2,0),(3,0) B。1,-2,-2,3

C。(0,1),(0,-2),(0,3) D。1,-2,3

例 2、（1）函数 y x 2 = log 的零点是 ；（2）函数 x y = 3的零点个数是 。 

设计意图：除了对刚获得的概念加以巩固之外，例 2 还让学生明白了求函数零点虽可用方程法，但只问零点个数的情况下用直观想象更为方便。 

问题 4：函数 y = ln x + 2x - 6的零点个数可以通过什么方法来解决呢？ 

设计意图：虽然学生明白作图像解决，但是如何作出较复杂函数的图像再从中找出相应的零点个数。这又给了学生新的挑战。 

再入棋局，破解悬念 

问题 5：现在有两组镜头（如图 3），请同学们仔细观察哪一组镜头说明“马”一定曾经跳过河？注意“马”是跳跃路线必须满足函数定义。 

设计意图：通过对“马”跳跃的不同路线的探究，由直观的棋盘图形顺利地过渡到函数零点存在性定理，并让学生描述出较为准确的定理打下铺垫。 

二、几点感悟 

首先，新课导入要吸引学生眼球。新课的导入既要注重数学本质，又要注意适度形式。导入必须要合情合理，还要有直观性、趣味性、启发性和铺垫性等作为“添加剂”加以推波助澜，使之到达“好的开端是成功的一半”的效果。本课例的情境导入可谓独具匠心，一改以往通过观察几个具体实例或把教材中的例题前置等方式设计引入。它是由直观的象棋棋盘为引，以“马”的走法为主线。从直观想象慢慢地过渡到数学表达的抽象过程中去，激发了学生的兴致，调动了学生主动参与课堂教学的积极性，并为后续的探究做好了铺垫。 

其次，概念生成要学生自然接受。数学概念是由抽象、概括的思维形成而来，是反映事物与现象一般本质特征的观念。学生在获取数学概念并真正理解它是一个非常困难的过程，也是数学概念课中最难的突破点。而本节课运用直观想象的方式，通过“两入棋局”，以“马”的走法自然地解决了函数零点的定义与零点存在性定理两个概念，正所谓一盘棋下完了，一堂课的重难点知识也就明白了。 

再次，例题选择要匹配教学目的。教师要精选例题，不宜片面追求数量而要重视质量，数学概念课更是如此。所选例题习题既要对刚学概念起到巩固强化的作用，还要对整节课的教学流程起承上启下的作用，不该孤立地为讲题而选题。比如该课题中例1 与例 2 的设计除了起到及时巩固函数零点这一概念外，还让学生自己概括出可用作图像法来解决函数零点个数问题，为待会解决例 3 中的函数零点个数问题有了思想上的铺衬和理论上的支撑。故例题习题的选择要有针对性和目的性，要紧扣知识目标和能力目标，要遵循核心素养的基本要求，切不可“眉毛胡子一把抓”随意一选丢给学生了事。 

最后，课堂教学要融入核心素养。众所周知，40 分钟的课堂时间是何其宝贵，而要在课堂教学中融入核心素养又何其重要。为此，教师在课前须精心备课，课中须合理提问，同时还要关注可能会发生的教学“意外”，并努力在短暂的时间内探索课堂高效教学模式，积极寻找提高学生数学素养的突破口，实现学生发展数学核心素养的有效路径。 

三、结束语 

把一堂数学概念课上得自然、生动是每个教师为之追求的方向，也是每个教师为之努力的目标。在这“追求”与“努力”的双重指引下，在学生已有的认知水平和知识经验的基础上，教师坚决不搞“承包”，不做“传销”，坚定地把每一个数学概念用直观想象的方式呈现，用简练的语言、有效的方法传授给学生。师生要努力把课堂这一平台打造成培养数学核心素养的前沿阵地，循序渐进地把数学核心素养融入到课堂中去，使数学核心素养在潜移默化中产生深远的意义。 

参考文献: 

[1]中华人民共和国教育部。普通高中数学课程标准。人民教育出版社，2017，1-6。 

作者简介：邵琳华，男，籍贯：浙江绍兴，职称：高级教师，研究方向：数学课堂教学与数学竞赛等方面。