浅谈正确理解数学概念的若干途径

 数学概念是基础知识的核心，是学习各单元知识的着眼点。由于数学概念的背景、定义方式、相互关系的多样性、严谨性、抽象性，理解概念往往成为学生学习中的一大难点，现就多年的教学实践，谈谈指导学生正确理解数学概念的一些途径和方法。
        一、抽象概括，深刻理解概念
        掌握好一个数学概念，要学会抽象概括。抽象概括就是把一类事物的本质属性联合起来考察的方法。抽象概括的过程就是把感性认识上升为理性认识的过程，抽象概括的结果就形成概念或对规律的认识。抽象概括是学习数学不可缺少的重要环节，在学习过程中不断提高抽象概括能力，才能深刻理解掌握概念或运用概念。
        二、比较异同，深刻理解概念
        比较是人们认识事物的重要方法之一。通过归类或比较的方法找出概念之间的相互关系，共同点与不同点，更好地把握概念的内涵和外延。
        例如，讲解“不等式的解”的概念难度较大，学生不易理解。教学时把它与“方程的解”进行比较，通过实例向学生指出：方程的解是使方程两边相等的未知数的值，不等式的解是使不等式成立的未知数的取值范围; 从使原式成立这点看，方程的解与不等式的解是一致的；从解的个数上看，方程的解和不等式的解有明显的区别：方程的解一般个数是有限的，而不等式的解一般是某个取值范围内无穷多个数值。
        三、联系现实，深刻理解概念
        实践，认识，再实践，再认识，这是认识论的基本规律。因此，到实践中去认识概念的本质属性是一条行之有效的途径。在数学概念教学中教师要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，启发学生观察有关的实物图示或模型，使之在感性认识的基础上，逐步建立数学概念。
        例如，教学“任意角的概念”时，让学生自己动手制作：拿两根竹筷子，把一端用钉子固定，张开另一端，并且让一根筷子不停旋转。教师引出任意角的概念：一条射线绕端点按逆时针旋转所成的角是正角，按顺时针旋转所成的角是负角，没发生任何旋转的射线成角是零角。通过这个小实验，学生亲身感知了任意角的本质属性。 
        四、捕捉概念中的关键字、词、句，深刻理解概念
        有的概念叙述简练、寓意深刻；有的用公式表示，比较抽象。对于这类概念，在教学中必须深刻揭示每个字、词、句的真实意义。
        例如，讲解直角坐标系中建立对应关系的概念：坐标平面内所有的点与所有的有序实数对之间是一一对应关系。这个概念很抽象，学习时应抓住“点”，“有序实数对”，“对应”这些关键的字和词。然后可以举例，去电影院看电影，要拿着电影票对号入座，这样来理解概念。通过关键字、词和生动形象的比喻，便深刻理解了直角坐标系中建立对应关系的概念。五、分析概念的矛盾运动，深刻理解概念
        数学概念的内涵和外延不是一层不变的，它是在社会实践中不断发展、不断充实逐步完善的。教学时，教师要突破学生原有概念的束缚，把概念的灵活性和确定性辩证的统一起来，恰当的分析概念的矛盾运动。
        例如角的概念，在初中仅限于平面，范围在0°~360°之间，角的类型有锐角、直角、钝角、平角、周角；进入高中，角发展到任意角，有了正角、负角、零角的概念。空间立体几何的研究，角由平面发展到空间，还要学习空间两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角等概念。这样，角的概念在发展中逐步完善。在讲解这类概念时，必须辩证的分析概念的变化和发展，强调旧概念是新概念的一种特殊形式，它们是辩证的统一的。
        六、通过推理，深刻理解概念
        由现实原形抽象出概念后，认识并没有结束，还必须再回到实践中去，要引导学生在推理判断和证明中运用概念。推理是深化认识，发展认识的高级思维过程。
        例如，“异面直线”概念教学，引导学生观察实例可获得两直线“不同在任何一个平面内”的感性材料。如何加深理解异面直线的概念呢？为此，可让学生用反证法思考推断：“假设两直线平行，那么此两直线必在同一平面内，它们不是异面直线；同理，假设两直线相交，它们也不是异面直线，所以异面直线是既不平行又不相交的两条直线。根据假设推理学生容易得出既不平行又不相交的两条直线不可能在同一平面内，于是学生对异面直线理解更深一步。
        基本概念不能一次讲清了事，要反复重述，加以巩固。讲解概念要精练，不能喧宾夺主，主次不分；阐述概念要生动形象，通俗易懂；揭示概念语言要生动，表情要有感染力，使学生不易忘记。总之，多角度、多侧面、多手段引导学生去认识数学概念，才能全面准确理解概念，学好数学。