《二项式定理》教学设计

吉立萍 
（淮安市楚州中学，江苏  淮安  223200）
摘  要：本文笔者分析了《二项式定理》一课的教学内容、教学目标、教学策略选择和媒体运用，展示了教学过程设计，在最后进行了教学反思。
关键词：二项式定理；教学设计；排列组合
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、教学内容分析
本节课是苏教版数学选修2-3第一章第1.5节第一课时，内容为二项式定理，二项式定理是排列组合后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，为随后学习的概率与统计作知识上的铺垫，它也是初中乘法公式的推广和延伸。学习本小节的意义在于：①二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；②基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节又是对初中学习的多项式乘法的深化；③二项式定理是解决某些整除性、近似计算、证恒等式、处理不等式等问题的一种方法。

二、教学目标
（一）知识与技能
1、理解二项式定理及其推导方法；
2、识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用。
（二）过程与方法
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，体会“观察—归纳—猜想-证明”的思维方式，体验特殊到一般的发现规律，由一般到特殊指导实践的认识事物的过程。
（三）情感、态度与价值观
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学公式的对称美、和谐美。
三、教学策略选择和媒体运用
本节课主要采用发问和引导等方法。由于本节课内容多，文字多，符合多，将多媒体引入课堂，既能增加教学的直观性和形象性，又能增加教学容量，提高效率。针对我校实施的“自探互教”的教学模式，我努力把机会让给学生，发挥他们的自主精神，尽量创造学生活动的机会，让学生在共同合作的基础上构建自己的知识体系，尽量引导学生的创造意识，使他们能在创造的氛围中学习。
四、教学过程设计 
（一）创设情境 引入新课
问题1：今天是星期三，那么8天后的这一天是星期几？若一年后的今天又是星期几呢？若8 天后的这一天呢？（前两个问题学生都能回答上，最后一个问学生都不知道了，有的会用计算器，但因数字太大不好用，有的互相讨论但都没有结果），想要知道答案就要学习今天的内容（引入课题）
设计意图：通过疑问激发学生的好奇心，从而提高学生的学习兴趣和学习热情，达到有效教学的目的。
（二）讲授新课
问题2：由多项式的乘法法则可以知道：
 
你能写出 的展开式吗？（此问题用幻灯片打出 ，学生可能一时难以回答要留足够的时间让学生仔细观察，认真思考，展开讨论共同合作。老师引导学生观察上面的几个等式就展开式的项数、每一项的构成等进行讨论研究，探究规律，进而让学生得到猜想）  

 问题3：上述猜想中各项的系数如何确定？
(尽量让学生自己来，如果没有学生会说就由老师来分析引导)
  表示n个括号都不取b，即有 种，所以 的系数是 ；
 表示n个括号中有一个取b即有 种，，所以 的系数是 ； 
 表示n个括号中有两个取b即有 种，，所以 的系数是 ； 
、、、、、、
 表示n个括号中有r个取b即有 种，，所以 的系数是 ； 
、、、、、、
 表示n个括号都取b，即有 种，所以 的系数是 ；
归纳得出：
  
[指出]：上述这个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边 这个式子叫二项式，右边多项式叫做 的二项展开式．其中各项的系数  (k＝0，1，2，…n)称为二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，它是第k+1项，用 表示。
（用课件给出这几个概念，让学生留下深刻的印象）
设计意图:通过几个问题的一步一步引导，让学生自己一步一步慢慢地把二项式定理给推到出来，让学生有成就感和自豪感，同时也能增加学生学习数学的自信心，更能激发他们的学习兴趣。
（三）例题讲解
例1：展开下列各式
（1）                 （2）                   （3）
设计意图：例1 就是让学生对二项展开式进行记忆并理解，剖析公式中结构特征，通过实物展示学生解决问题的方法，更能剖析出学生对定理的理解和记忆的不到位和书写的不规范，同时第（3）小题也是回应新课引入的那个问题，学生会恍然大悟，一下子就明白了，更大的激发了学生学习数学的热情。
问题4：二项展开式有什么特点？
（让学生讨论归纳，最后老师总结板书在黑板上让学生能留下深刻印）
1.展开式共有n+1项；
2.各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n；
3.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n；
4.通项是第r+1项   = ；
5.二项式的系数从 ， ，直到 ；
6.第几项的系数是化简后的最终系数。
设计意图：让学生在理解二项式定理得出的过程基础上，根据例1的三个展开式归纳总结出二项式定理的特点。通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力和合作精神。
例2：在 的展开式中，
（1）求第4项系数以及第4项的二项式系数；
（2）求倒数第3项；
（3）求含 项的系数。
设计意图：本例由书中的例题改编而成，有利于提高思维的灵活性和梯度，熟悉定理的应用，通过练习巩固基础知识，达到知识的内化。
（四）课堂练习
    课本P32  练习1、2、3、4
（五）课时小结：
本节课主要学习二项式定理的推导及其简单的应用，特别是推导过程中所体现的从特殊到一般的思想方法很重要。
设计意图：让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结，形成良好的自主反思习惯。
（六）课后作业
1.完成本节课的作业纸
2．思考探究
化简 ．
五、教学反思 
（1）这节课比较枯燥，怎样提起学生的学习兴趣，我用了8 天后的这一天是星期几来激发学生的好奇心。
（2）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，认为后者重要。于是，我这节课花了大量时间采用问题化来引导学生一步一步探究二项式定理的推导。
（3）学生怎样才能掌握二项式定理？我是是通过练习来达到目的，首先我通过例1让学生记忆并理解二项式定理 ，而且也回应了新课引入时的问题，还让学生自己归纳二项展开式有什么特点？用例2让学生会求特殊项，最后在通过课后的练习让学生进一步得到巩固和消化。