线性规划下的目标函数研究

陈选明
（新建县第二中学，江西  南昌  330100）  
   摘  要：线性规划的引入拓宽了高中数学的解题思路和方法，隐含二元不等关系的问题均可转化为平面区域来研究。本文对求目标函数最值系统地作些介绍。
   关键词：高中数学；线性规划；目标函数
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

简单线性规划问题与我们的日常生活密切相关，有着极其广阔的现实生活背景。随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学的一个基本内容，也成为一个高考重点考查的知识点。随着高考对线性规划考查的深入和细化，线性规划问题越来越脱离了其原貌，逐渐呈现出命题形式多样化、手法新颖化、实际背景生活化得趋势。
线性规划问题，主要是两个方面的构成：一是平面区域，二是目标函数 。其中区域，主要有静态区域和动态区域，其形主要是多边形区域和二次曲线边界区域。对于区域，研究难点是与静，一般的问题都是静态的，对于目标函数，其难点是揭示二元关系的几何意义。解决线性规划问题的关键就在于正确分析目标函数的解析式的结构特征，考虑其代数式的几何意义。为此，对求目标函数最值系统地作些介绍。
一、线性型目标函数
目标函数为 （ 为常数）时化为 ，研究此直线与区域有交点时 轴上的截距的最大值（或最小值），也可化为 ，研究点 到直线 距离的最值。
例1、设变量 满足约束条件： ，则目标函数 的最小值为          .
分析：画出不等式 表示的可行域，如右图，让目标函数
表示直线 在可行域上平移，知在点 自目标函数取到最小值，
解方程组 得 ，所以 。
二、比值型目标函数
目标函数为 时，研究区域上的点与原点连线斜率变化的最大值（或最小值）；目标函数为 研究区域上的点与点 连线斜率变化的最大值（或最小值）。
例2、若实数 满足不等式 的取值范围是          .
分析：目标函数的意义为可行域内的点 与定点 连线的斜率变化范围，作出可行域可得
三、二元二次型目标函数
目标函数为 时，研究圆 与区域边界相切（相交）时圆的半径变化的最大值（或最小值）。当然，研究原点与区域边界连线的距离的变化也行，由此，对于目标函数为 时，我们也就有了办法了。
目标函数为 时，研究抛物线 与区域边界相切（相交）时抛物线在 轴上的截距变化的最大值（或最小值）。
例3、如果点 在平面区域 上，点 在曲线 上，那么  的最小值为是          .
分析：目标函数的意义为可行域内的点与圆上的点之间距离最小值，画出可行域可得 。本例亦可将其目标函数理解为以定点为圆心的同心圆，求与边界相交、半径最小的圆。
四、乘积型目标函数
目标函数为 时，按照二元二次型思路，应是研究双曲线 与区域边界相切（相交）时的几何意义。然而，这一意义不够明显，不好为我们最值提供较好帮助。
当 时， ，这样，我们就可以研究目标函数 的最大值了，但上不等式中要求 时取到等号，因此最优解也不必具这一特征，如果区域的特点使上一特征不具备，怎么办？将上不等式进行一些变形，可使我们解决这一困难，因 ，我们可以研究目标函数 的最大值了，等号成立的条件易处理了。
例4、设 满足条件 ，则 的最大值是         .
分析：根据可行域可知，因为 ，当且仅当 时取得等号。
只须求 的最大值，画出可行域得知在直线 与 的交点 处有最大值，所以 。
五、根式型目标函数
目标函数为 时，研究区域边界上的点与两定点 和 距离和变化的最值。
例5、设 满足条件 ，则 的最小值是         .
分析：目标函数的几何意义表示为可行域中的点 到定点 的距离，其最小值即为点 到可行域边界的最小值，可得 。
六、参数型目标函数
目标函数中含有参数，这里的参数往往与直线的斜率有关，还有另一个特征，那就是最优解是可知的。又往往是一个或无穷个，因此可充分利用斜率的特征加以转化。
例6、若 满足约束条件 ，目标函数
 仅在点 处取得最小值，则 的取值范围是         .
分析：作出可行域---图中阴影部分，根据图像判断，目标函数需要
和 ， 平行，由图像知函数 的取值范围是
线性规划的引入为高中数学的解题另辟了一番天地，也为高中数学添加了活力，拓宽了解题思路和方法，隐含二元不等关系的问题均可转化为平面区域来研究。总之，对于目标函数，我们要充分利用数形结合中已学过的二元关系的几何意义时行转化，沟通联系，一通就会百通。