不定积分教学中应注意的几个问题

马 龙

摘要：不定积分相关知识的学习是培养学生创造性和理性思维的重要素材，是掌握现代高等数学的工具和基础，但是其也是教学中的一个难点。不定积分作为积分学的基础，在高等数学中只有通过不定积分求得原函数，然后再可以计算相应的定积分。然而，由于不定积分计算过程中形式的多变性、方法的多样性，使得其很难得以掌握，本文主要就不定积分在教学中应该注意的问题进行了探讨。

关键词：不定积分；教学；问题

不定积分作为高等教育的必学内容，有其独特的重要性。因此，在教学过程中，应该把不定积分部分的内容作为教学的重点。不定积分的教学不同于微分教学过程，微分的教学中对于问题解决的结果一般是唯一的，因此，在实际的教学过程中，数学教师对于不定积分部分的教学应该更加严谨。本文提出几个在不定积分教学过程中应该注意的问题，希望对后续相关的教学活动有借鉴的价值。

一、注意不定积分计算结果

1. 计算结果所求的原函数相同，但形式有差异

所谓的原函数相同，形式上有差异，主要指的是在计算的过程中，我们对不定积分所应用的计算方法不同（如分部积分法、三角换元法、万能法等），可能会导致最终结果的差异性。

如：计算

解法一（直接积分法）：

解法二（整体代换法）：

由此可以知道，对于的计算我们可以至少得出两个结果既

① .

② .

虽然两种方法计算的结果只是由于形式上具有差异性，但是如果遇到类似的或者比这更加复杂的运算题目，在教师进行作业批改的时候，如果不加细心，很容易造成误判。这将给后续的教学工作带来不利，甚至还会给学生的自信心造成损害。

2. 计算结果所求的原函数类似不同，但都是正确的

所谓的原函数类似不同，主要指的是其所表现出来的形式的类别不同，如一个是余弦函数，而另一个是正切函数，这样很容易使我们产生错觉，进而对计算结果产生怀疑。

如：计算

解法一：利用=tanx+C

则

解法二：利用

则

从上面的计算结果，我们明显可以看出一个计算结果为正切的形式，一个为正割的形式，给人一种完全不同的形式，然而两者只是相差了一个常数而已。因此，在数学教学的过程中，教师必须保持严谨的教学态度，不可以随便按照给定的答案形式来随意断定学生的计算结果是错误的。

二、在不定积分教学中狠抓实践性环节

在我们高等数学课本中，对于积分教学主要分为两个部分， 一个是定积分的运算与应用，另一个是不定积分的运算与应用。对于不定积分的求解则没有定性的求解套路或者准则可循，只有通过大量的典型例题的训练和熟悉公式，而直接法、换元法和分部法这几种方法都不是万能的，它总是在一些例题中适用，对另一些可能不适用，甚或在解决一个问题的时候还需要同时用到几种方法。对于不定积分的学习的关键是会根据具体的问题选择合适的方法进行求解，一般这些问题在知道应用方法后，很容易进行计算。教学的重点在于让学生自己掌握熟练解决各种题型的方法和技能，从实践中挖掘和领悟规律，掌握解题的一些技巧，从而能够熟练的求解所遇到的不定积分的问题。此外，在教学中要特别注意强调以下几个问题，以加深同学们对于积分的深刻理解。

1. 积分是微分的逆运算。这一概念的提出不单纯的是一个简单的倒转，而是对于微积分学知识的一个拓展，丰富了课堂教学的内容。我们熟知的一些概念中就充分的包含了这个道理。比如对于有理函数来讲，其倒数是有理函数；然而有理函数的积分不一定是有理函数，还可能会是反正切函数、对数等。此外，初等函数的积分也不一定都是初等函数，有可能出现被积函数函数满足可积条件，但是原函数不可求的情况。

2. 应用换元积分法解决不定积分的过程中，要时刻注意换元的条件。此外，在教学的过程中，教师还要不断的提醒学生对于积分的最终的计算结果在使用换元积分法的情况下，必须换回原变量。

3. 有理函数的积分作为积分计算中的重点，也是难点。其难点主要在于将有理函数的形式进行合理的分解，转化为部分分式进行解题的过程。在积分教学的过程中，可能运用的方法就很少的几种，但是这不是意味着学生在解题过程中按照解题方法的顺序一个一个进行套式就可以解决问题的。不能够把课程的教学当成呆板的教条式教学，而应该鼓励学生大胆创新、大胆应用。

如：求解

进行计算的过程中，如果可以深刻理解题目的含义，通过适当的变形可以将一个复杂的题目简单化。

= = = = =

通过一步步的简化，最终形成了一个简单的形式。

4. 教师在教学的过程中，要对教学的细节部分做重点的提醒。比如在教学中经常遇到学生在计算不定积分时，结果不加常数C 的情况，如这不可以只是单纯的认为粗心造成的， 其是对不定积分概念理解上的错误，将不定积分等同于一个原函数，是根本性的错误。

三、结论

总之，不定积分作为高等数学教学中的重点，也是教学中的难点。因此，对于不定积分的教与学来说，都具有一定地难度和挑战性。但是在教学过程中，通过教师精心的组织和认真的备课，并且在注意常见问题的基础上，正确引导学生学习，正确思考，形成好的思考和解决问题的习惯，从而使学生的数学能力得到切实的提高和发展。

参考文献：

[1] 刘光, 刘荣. 不定积分教学方法探析[J]. 重庆工业高等专科学校学报,2012,(2):14-15.