组合数 一条性质的推广与应用

孙  君  郑观宝
（歙县中学，安徽  黄山  245200）
摘  要：组合数 由许多重要性质，如对称性、最大项、和为 、奇项和与偶项和相等等等．除此之外，还有一条在《排列组合二项式定理》一章一直没有出现的性质： ，这是一条很重要的性质．下面就来谈谈这条性质的证明、推广与简单应用．
关键词：组合数；性质；推广；应用
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：
一、证明与推广
性质：
证明：
在利用组合数 性质解题过程中，有时需要计算 、 等等，于是我们有必要学习下列推广：
推广1：
证明： ；
推广2：
证明1：由上述组合公式和推论1，并注意到 ，可得
 ；
证明2： 
 
    利用类似的方法可以求出 、 、 的表达式，限于篇幅，这里略去．
事实上，上述性质与推论的作用在于将 中的变量 转化为常量：含 的表达式，从而更好的利用组合数 的其他性质．
二、简单应用
下面举例说明组合数的上述性质与推论的应用．
例1、求 、 的值．
解：（1）由于 ，则 ．
点评：（1）本小题通项 正好符合上述性质的条件，将 前面的变量 转化成了常量n；（2）在利用上述性质与推广解题时，要注意 的起始值不是0，而是1、2、3、…等等：（3）本题还可利用组合数的对称性（数列的倒序相加法）或导函数来求解，读者可自行完成．
（2），  ，
    则
点评：（1）从表面上看，本题并不满足上述性质的条件，但仔细观察后发现，是上述性质的逆应用；（2）本题还可利用函数的积分来求解，读者可自行完成．
例2、求二项分布的方差，即若 ～ ，则 ， ．
分析：对于这个公式，课本仅以“容易证明”四个字一带而过．但在教学中发现，绝大多数学生不知如何证明．现在，有了上述性质及其推论，证明就非常简单了．
证明：设 的分布列
 
0 1 2 … k … n
P 
 
 
… 
… 

 
 
点评：（1）事实上，组合性数性质 直到（人教版）高三选修（Ⅱ）第13页才引入，引入这个公式的目的就是为了证明二项分布的数学期望与方差计算公式．但是不少老师总是以“教学时间紧张”为由，让学生课后“探究”，事实上是让学生在课外“自生自灭”，这样做是很不科学的；（2）同上例，要注意 的起始值的变化（下同）．
例3、求 的值．
说明：这是2009年全国高中数学联赛初赛试题（安徽赛区）的最后一道试题．
解：由上述组合公式及其推论可得：
    
 
于是原式＝ ．
点评：考后调查发现，本题完成情况很不好，究其原因就是学生对上述性质及其推广不了解、不熟悉．现在有了上述性质和推广，问题就显得非常简单了．
事实上，组合数性质 及其推广的应用远不止这些，不到之处敬请各位批评指正．