待定系数法在中学数学中的应用

摘要：待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法。它在中学数学问题中广泛使用。本文简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，并通过具体的实例论述了待定系数法在中学数列、函数、圆锥曲线中的应用。

关键词：待定系数法；多项式恒等；中学数学

中学数学中有一重要解题方法——待定系数法。它渗透到中学数学的各个板块，特别是高中数学，在数列和函数等章节有着举足轻重的地位，函的数解析式、数列的通项公式以及圆锥曲线方程等的求法，用待定系数法不仅思路清晰，而且能够又快又准的得到结果[1]。使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为：

（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一个（组）含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。

1、待定系数法在求数列通项公式中的应用

待定系数法在数列中的应用相当广泛，主要体现在通项公式的求法上，利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式。

2、待定系数法在函数解析式中的应用

用待定系数法求函数关系式的步骤是：第一步：设。优先设好待求函数关系式(其中含有待定的系数)，尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好。第二步：构。将点的坐标代入关系式，构造待定系数的方程或方程组。第三步：解。解方程或方程组，求出待定系数的值。第四步：回代。将解出来的待定系数的值代人所设的函数关系式，从而得到所求结果[2]。

一次函数是函数中最基本的一种函数，待定系数法是求解一次函数的解析式的首选方法。

例 2 已知一次函数的图象过A(1,5)和B(?1,?1)两点，求这个一次函数的解析式。

所以一次函数的解析式为 y ? 3x ? 2.

3、待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用

已知曲线的轨迹是椭圆或双曲线时，求标准方程时都可用待定系数法，若焦点位置确定，直接设标准方程来求解；但若焦点位置不确定，直接设标准方程来求解需要讨论两种情况，有可能会导致漏解或过程繁琐，这时我们就要加强对题目条件合理的使用，对方程进行适当的“改造”，达到避繁就简，事半功倍的效该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1 F ， 2 F 为顶点的三角形的周长为4( 2 ?1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上已于顶点的任一点，直线1 PF 和2 PF 与椭圆的交点分别为A ， B 和C ， D．求椭圆和双曲线的标准方程．解 设椭圆的半焦距为c，由题意可得：

又由于等轴双曲线的顶点是椭

圆的焦点，所以有m ? 2.

待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数。之后就只需根据题目给出的条件，解题即可。

参考文献：

[1] 叶立军. 初等数学研究[M].上海:华东师范大学出版社,2008,43-44.

[2]张大任.待定系数法[J].数学方法,2006,（9）:21—25.