谈初中数学学习之变

和原来不同谓之变，知变、能变、善变是数学学习的精髓之一。数学是思维的体操，变是一种数学学习的素养，变可使问题得到很好的解决，“穷”则思变、变则通。教师在课堂教学的过程中要特别关注这种素养和能力的培养，以下是笔者在教学中的一些思考和体会。

一、变之有理，数学之变是形变而质不变，谓之恒等变形。

变形须有理有据，初中阶段主要涉及如下：①等式的基本性质；②不等式的基本性质；③实数的运算规律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律；④等量代换。⑤运算法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、整数幂的运算法则等。⑥分式的基本性质；⑦相关定义、公理、定理、公式等。

二、常见变形

变式二：因为x-1=

x1,所以反比例函数的析式变形为y=kx-1(k

≠0),此形式恰好与正比例函数y=kx(k≠0)形成鲜明的对比，给学生的解答问题时带来很多方便。

2、移项是最常见的等式变形，是应用等式基本性的最简单概括。

3、约分、通分是分数（分式）的经典变形，它是分式基本性质的应用。

4、因式分解是整式的乘法运算的逆运算。它是对多项式的基本变。

5、完全平方公式之变。(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 我们对两公式进行整块分割可得到：a+b(两数之和),ab(两数之积)、a2+b2(平方和)共三个整块或a-b(两数之差),ab(两数之积)、a2+b2(平方和) 共三个整块。于是可将公式变形如下：

a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2= (a-b)2+2ab;(a+b)2=(a-b)2+4ab。这些变形简单而完美地表达了两数和、两数差、两数积、平方和的关系，在应用时会给学生带来神奇之妙。例如，已知: m+n=5,mn=2，则m2+n2=_____.学生利用上述三整块的关系去解答是比较容易的。

6、代入消元法的关键是等式的变形。首先，用含x（或y）的代数式表示y（或x），即选择一个较简单的方程，把它变形为y=…或x=…,再把变形得到的y（或x）代入另一个方程即可求出。

7、二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0),经配方可变形为y=a(x+

ab2)2+

aac b

44 ? 2 ,这对研究二次函数的基本问题：开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最值时，带来极大方便。

8、图形的对称、平移、旋转是位置之变。

例如，已知菱形ABCD 的两条对角线的长分别为6 和8，M、N 分别是边BC、CD 的中点，P 是对角线BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是多少？

思考与分析：因为M、N 是两个定点，P 是动点，线段PM、PN 的长，随着P 点的移动而变化，其和也在变，点P 在什么位置时，PM+PN 的值最小呢？学生首次思考这类问题是没有办法的。因为对角线BD 所在的直线恰为菱形的一条对称轴，点M 关于BD 的对称点是AB 边的中点，令此点为Q，则PM=PQ,于是转变为PQ+PN 的最小值问题，P、Q、N 三点要么不在一条直线上，要么三点在一条直线上，显然，当P、Q、N 三点共线时，PQ+PN的值最小，即为菱形的边长。

三、变之通、通则有趣

例1，若实数a、b 满足a2+4a+b2-6b+13=0,求ba 的值？

思考与分析：要求出ba 的值，须知a、b 的值分别是多少？

而此题并没有直接告诉它们的值，而是一个与a、b 有关的等式，它是一个二元二次方程，显然通过解方程来求出它们的值是不可能的，怎么办呢?既然不能直接求解，那就尝试变的方法吧。稍加观察，此等式的前三项与完全平方公式非常相似，这是否与此有关呢？若能想到这里，那就有眉目了。变形如下：将13 分为4 加9，分为两组即（a2+4a+4）+(b2-6b+9)=0→(a+2)2+(b-3)2=0,因为（a+2）2、(b-3)2 是两个非负数，所以，a=-2,b=3,问题得以解决。

例2，已知a、b 是方程x2-x-3=0 的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5 的值是多少？

思考与分析：要求该代数式的值，只需求出a、b 的值即可。

此题对初三的学生来说，可能会想到通过解这个一元二次方程，求出两根，也就求出a、b 在值，然后再代入计算，这种想法看是可以的，但实际并不简单，甚至是无法完成。也许学生会想到一元二次方程的两根与系数的关系，则有a+b=1,ab=-3,这是乎也没有用，这就让人感到很棘手了，突破点究竟在哪儿？这一点也常被学生忽视，这就是根的定义，因为a、b 是方程的根，所以a、b 的值满足该方程，即有a2-a-3=0, b2-b-3=0,这有何用？通过上述分析，我们想求出a、b 的值是行不通的，我们可以尝试变形之法：

a2-a-3=0→a2=a+3→a3=a2+3a→2a3=2a2+6a,如此一变，2a3 就出来了，代入原式=2a2+6a+b2+3a2-11a-b+5=5a2-5a+b2-b+5,到此学生大多有点眉目了。a2-a-3=0→a2-a=3, b2-b-3=0→b2-b=3,在代入得5×3+3+5=23.真可谓神奇之变。

笔者认为变是一种思想、一种方法、一种应用能力。人们生活在变化的世界里，“穷”则思变，变则通。不变的是理，要以不变应万变，变的是解决问题的方法、手段、途径。教学中要加强这方面的训练，培养学生的应变能力。教学时经常会用换言之，其实是描述之变；一题多解是方法之变；一题多变是形式之变；如此种种，在变化中教与学、在教与学中学会变，会变则是创新意识与创新能力一种体现。