苏教版教材一道操作题的探究与发现

 余金荣  胡  燮
（无锡市堰桥中学，江苏  无锡  214174）
摘  要：文章由苏教版教材中的一道操作题提出问题，引发思考，利用常微分方程中的包络和平面几何的相关知识解决了提出的问题，并且收获了利用产生圆锥曲线的新方法作圆锥曲线切线的方法和圆锥曲线光学性质的证明方法.
关键词：克莱罗方程；包络；圆锥曲线
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

苏教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的标准方程》一节的探究拓展中给出了这样一道操作题：
准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点 ，将纸片折起，使圆周过点 ，然后将纸片展开，就得到一条折痕 （为了看清楚，可把直线 画出来）. 这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕的轮廓，它们形成了什么曲线？
把这个操作题进行抽象，实际上可以转化为如下问题：点 为 内不同于点 的任意一定点，点 在 上移动，动直线 为线段 的垂直平分线，请问动直线 围成的轮廓是什么图形？
动直线 围成的轮廓无疑是以圆心 和定点 为焦点的椭圆. 笔者对此问题颇感兴趣，提出以下两个问题：
问题1 实验可以给我们直观的感觉，能否证明动直线 围成的轮廓为椭圆呢？
问题2 若该轮廓为一椭圆，它是满足什么条件的动点的轨迹呢？能否给出证明？
为了研究解决这两个问题，给出以下定义和引理：
定义1 形如 的方程称为克莱罗（clairuaut）方程，这里 是二次可微函数，且 .
定义2 如果方程存在某一解，在它所定义的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则此解为微分方程的奇解.
定义3 设曲线族（ ）： （ 为参数），若存在一条连续可微曲线 ，它不属于（ ），但 上每点处都有（ ）中的一条曲线和它在此点相切，则称曲线 为曲线族（ ）的包络.
由此，问题1即阐述为：判断由所有动直线 组成的曲线族（ ）的包络 是否为椭圆.
文[1]利用克莱罗方程的奇解证明了以下引理：
引理[1] 已知一条曲线，若两定点到该曲线上任意一点的切线的距离之积为常数 ，则该曲线为椭圆或者双曲线.
通过以上引理和证明过程不难发现，动直线 组成的曲线族（ ）的包络若是椭圆（双曲线），则其焦点到动直线的距离之积为定值 （其中 为椭圆（双曲线）的短半轴长（虚半轴长））.
    关于问题1和问题2的研究，以定理的形式给出：
定理 点 为 内（外）不同于点 的任意一定点，点 为 上的动点，动直线 为线段 的垂直平分线（记为曲线族（ ）），则曲线族（ ）的包络为以点 ， 为焦点、 的半径为长轴长（实轴长）的椭圆（双曲线）. 该包络就是直线 与动直线 交点的轨迹.
证明 如图1建立平面直角坐标系，记 与 轴的两交点为点 ， ，线段 的中点为点 ，延长 交 于点 ；过点 作 ，垂足为点 ；连结 ， ，取 的中点 ，连结 ，则有
 ，
所以 .
又 ，点 为 的中点，所以 . 又 ， ，所以四边形 为矩形，则 ，于是 .
设 的半径为 ， （点 在 内时，显然 ）， ，则由圆中的相交弦定理可得，
 ，
则 .
    由引理及其证明可知，曲线族（ ）的包络为以 ， 为焦点、 的半径为长轴长的椭圆，其方程为 （ ， ）.
连结 交直线 于点 ，则有 ，所以 ，于是点 的轨迹为以 ， 为焦点、 的半径为长轴长的椭圆，其方程为 （ ， ），即曲线族（ ）的包络即点 的轨迹.
关于“双曲线”的相关结论的证明类似，这里不再重复.
从图1中易证明 ，因此得到：过椭圆的两个焦点 ， 向椭圆的切线引垂线，垂足分别为点 ， ，则点 ， 均在以椭圆的中心为圆心、椭圆的长半轴长为半径的圆周上. 于是有：
    推论 设 的半径为 ，点 ， 为 的某一直径上关于圆心对称的两点，记 （显然 ），过点 ， 做一组平行线分别交 于点 ， （在直径的同侧），所有动直线 记为曲线族（ ），则曲线族（ ）的包络为以点 ， 为焦点、 为长半轴长的椭圆，且 .
注：由推论结合几何画板等软件可以得到一种生成椭圆的方法，而且通过上述探索过程发现我们可以用尺规作图的方法作出椭圆的切线，步骤如下：
步骤一：如图2所示，以椭圆的一个焦点 为圆心，椭圆的长轴长为半径作 ，在椭圆上任取一点 ，连结 并延长交 于点 ，连结 （ 为另一焦点）；
步骤二：作线段 的垂直平分线 ，直线 ，即为椭圆过点 的切线.
通过该操作题的讨论，我们得到了折痕的包络与圆内一动点的轨迹之间的关系，并且证明了提出问题中的折痕的包络是椭圆，获得了两种利用包络产生椭圆的方法，也找到了一种做椭圆的切线的尺规作图方法. 同时也意外地收获了等腰三角形中的一个性质（借助“圆”巧妙证明）和椭圆的光学性质的一种证明.
事实上，我们知道圆锥曲线之间经常出现孪生的现象，对椭圆中的相关结论做适当的变形就可以得到双曲线和抛物线中的形式，本文的结论均可以在双曲线和抛物线中得到推广，限于篇幅，这里不再赘述.
一个操作题，引出如此丰富的结论，让人兴奋不已，笔者水平有限，相信可以得到的结论不止这些.

参考文献:
[1] 杨小娟. 利用克莱罗（clairaut）方程给出二次曲线的等价定义[J]. 数学学习与研究，2009,02.
[2] 单墫主编. 苏教版课程标准实验教科书• 数学选修2-1[M]. 南京：江苏教育出版社，2006.