等差、等比数列的考点例析

陈森伟
（丽水学院附属高中，浙江  丽水  323000）

 
摘  要：等差、等比数列是期末考试和高考的重点内容之一，常考的有等差、等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式，还可以与向量、函数、不等式、方程等知识综合起来命题.下面结合高一学生的实际水平，例析等差、等比数列的常见考点。
关键词：等差；等比；数列；考点
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、等差、等比数列定义
例1  设  ，则 是（   ）.
A. 等比数列,但不是等差数列.  B等差数列,但不是等比数列.
C. 等差数列,也是等比数列.    D.既非等差数列也非等比数列.
 解：   ，则   为常数 ，
则数列 是等差数列.检验知， ，所以，数列 不是等差数列.
因为   ，所以，数列 也不是等比数列.总之，选（D）.
评述：（1）根据 为常数 ，只能说明缺少 的数列 是等差数列（首项是 ）而不一定能断言数列 就是等差数列；（2）由 可以判断无穷数列 不是等比数列，但由 却不能判断无穷数列 一定是等比数列.
二、等差、等比数列的通项及性质
例2  （2007年宁夏省高考题）已知 是等差数列， ，其前10项和 ，则其公差 （　　）A．   B．    C．   D．
解： ，又 ，所以 .故选（D）.
评述：（1）已知等差数列中的任意两项 ，则公差 = ，当两项相邻时即 ；（2）已知 也可以归结到 五个量知三求二的方程思想上.
例3  已知 是等比数列，且 ,  ,那么 的值等于              
解：由已知条件和等比数列性质得  ，
又因为 ，所以   =6.
评述：（1）等比数列中的任意项 是其相邻两项 、 的等比中项，也是与它前后等距离两项的等比中项,如 ；（2）数列 共有 项，前 项和记为 ,中间 项的和记为 ，后 项的和记为 ，若 成等差数列，则 ；若 成等比数列，则
三、等差、等比数列前n项和
例4  设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则公比 为（    ）.
A. =-2             B =1
C =-2或 =1       D. =2或 = -1
解：由题意知  ,即 ,化简得 ，
故， 。故选（A）.
评述：(1)当 =1时, ,当 时 易知
+ ；（2）由 不一定有 （如 =0时）.
四、与函数、不等式等融合
 例5  三个实数 成等比数列，若 成立，则 取值范围是 （    ）
 
 
解：由 成等比数列知， 。
因为   ，      则   。
又因为   ，
则        
 。
又 ，故选择(D).
评述：   (1)  成等比数列，必有 ，但 ， 未必成等比数列（如 ），若 ，则 一定不成等比数列；（2）求 取值范围的基本思路是寻找关于 的不等式,由 及 借助不等式 可实现这一转化.