初春一缕风，吹得桃李尽开颜——我最欣赏的一道高考题

伍齐胜

（六盘水市第八中学，贵州  六盘水  553003）

摘  要：高考题给我们更多的是新课标，新在不走寻常路，新在教与学应遵循最基本的原理――万事实实在在才是真，新在不仅要教知识，又要解会如何思考，优秀的学习者和教学这定会笑开颜。下面就是笔者最欣赏的一道高考题。

关键词：新课标；高考题；数学

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、初春一缕风，吹得芳草竟含羞

2013年全国新课标•Ⅱ卷中，亮点频显，试题在稳定中处处不乏新颖，充分体现新课标、新理念，尤其以不等式选讲的选做题更是体现这一观点，试题如下：

题1.(2013年全国新课标•Ⅱ卷)设 均为正数，且 ，证明：

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．

该题独让全心关注第一年实施新课标高考的贵州学生们哭笑不得，更也让老师们惊叹不已，因为对于选作题，老师们常常分析各地新课标高考，得到共同的结论是选做题以极坐标与参数方程和不等式最容易下手，而不等式学生最为熟悉，更是强调不等式大多与两个绝对值的函数综合，题型固定(如题２)，解题思路程序化(零点分区)，所以对此题是大讲特讲，学生自然高兴至极，因为又可轻松搞定10分．殊不知，初春一缕风，吹得芳草竟含羞．

题2.(2012年全国新课标卷)已知函数 ．

(Ⅰ)当 时，求不等式 的解集；(Ⅱ)若 的解集包含 时，求 的取值范围．

二、初春一缕风，吹得万物才回神

细品该题，回味无穷，对照教材，更是精彩．人教Ａ版教科书选修4–5，不等式选讲一书中，几乎半本书的内容讲到该题的所要用到的相关知识．下面给出几种证明，以体现该观点．

对第(Ⅰ)问的证明如下：

证法1：由均值不等式有 ，所以 ．对 两边平方得， ，所以 ．

证法2：取数组 ； ，由柯西不等式有 ．对 两边平方得， ，所以 ．

证法3：不妨设 ，由排序不等式有 ．对 两边平方得， ，所以 ．

对第(Ⅱ)问的证明如下：

证法1：由均值不等式有 ，所以 ．因为 ，所以 ．

证法2：取数组 ； ，由柯西不等式有 ．

又因为 ，所 ．

证法3：不妨设 ，于是 ，　由排序不等式有，

，化简后将 代入得 ．

从上述解法上看，均可用到均值不等式、柯西不等式或排序不等式，而这正是教材中重点讲解的内容，这些解题方法和思路也是不等式选讲中常见的解题思维，但我们更多的去关注曾经考了些什么，而忽略了实在的教材和课标，作为学生实实在在学习、作为教师踏踏实实教书才是真．初春一缕风，吹得万物才回神．

三、初春一缕风，吹得优雅又深邃

一道优秀的高考题不仅体现在多解法上，更能推广．下面便是上述问题的推广：

设 均为正数，且 ，证明：

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．

仿照上述证明过程，不难找到相应的证明方法，具体步骤留给读者．所以初春一缕风，吹得优雅又深邃．

四、初春一缕风，吹得桃李尽开颜

从解题思路来开，解决第(Ⅰ)问有两难点，其一是得到 ．这需要学生对不等式选讲中均值不等式、柯西不等式和排序不等式的结构特点，应用原理有一定的认识和理解．其二是对 两边平方，但更多的学生不敢两边平方，也想不到去平方，出现这种现象的原因在于传统教学中，学生更多的是针对教师讲解问题去重复教师的解题思路过程，通过大量的僵化练习来熟悉题型，他们在长期的练习中失去了独立思考的自信和胆色．为什么要对 两边平方呢，聪明的学生可能是这样想的“因为我想得到形如 这样一些交叉乘积项”，平方后发现有了平方项，所以均值不等式可以容易想到，稍加回顾柯西不等式和排序不等式，因也容易想到相应的解法．

解决第(Ⅱ)问的难点在于用均值不等式，需知道均值不等式的变形 ，而回分析的学生不难想到 ，两边除以 ，便有 ．问什么这样想呢？因为要证明的不等式中有 这样的结构，当然要得到这样的结构可以由排序不等式和柯西不等式进行构造，若用排序不等式自然要有序数据，并得到该组数据的倒数和平方的大小顺序，而用柯西不等式需构造两组数组，这些都是因为不等式中有 这样的结构．事实上聪明的解题者对问题中的代数式的结构会深入透彻地分析，甚至与已有知识和曾经解决的问题想联系起来，而高考中有独立分析能力的学生便能在考场自由驰骋，所以有，初春一缕风，吹得桃李尽开颜．

通过上述的分析，这道高考题给我们更多的是新课标，新在不走寻常路，新在教与学应遵循最基本的原理――万事实实在在才是真，新在不仅要教知识，又要解会如何思考，优秀的学习者和教学这定会笑开颜．这就是我最欣赏的一道高考题．