解三角形易错点经验总结

一、不考虑取值范围

对于三角代换后各角取值范围欠考虑导致的问题求解出

错：

如求函数y=x1/2+（1-x）1/2 的值域问题中，易犯的典型错误

即对于三角变换后忽视角的取值范围，比较典型的错解：

由于（x1/2）2+（（1-x）1/2）2=1，故可令x1/2 为cosA，（1-x）1/2 为

sinA，故可得

y=cosA+sinA=21/2sin（A+π/4），由于21/2sin（A+π/4）取值范

围在（-21/2，21/2），因此可知函数y=x1/2+ （1-x）1/2 的值域为

{-21/2，21/2}。

二、不考虑函数定义域

对于三角函数定义域欠考虑导致的问题求解出错：

如求解函数g（A）=sinAcosA（/ 1+sinA+cosA）的递增区间问

题中，易犯的典型错误即对于三角函数定义域的忽视：

假设m=sinA+cosA，那么sinAcosA=（m2-1）/2，代入得：

g（A）=（m2-1）/2（1+m）=（m-1）/2=（sinA+cosA-1）/2=21/2sin

（A+π/4）/2-1/2，因为A+π/4 的取值范围在（2kπ-π/2，

2kπ+π/2），因此可求得函数g（A）的递增区间[2kπ-3π/4，

2kπ+π/4]，其中k∈Z。

分析：该问题的上述解法忽视了函数定义域，函数g（A）中

分母（1+sinA+cosA）不为0。

正解：假设m=sinA+cosA，那么sinAcosA=（m2-1）/2，代入

得：

g（A）=（m2-1）/2（1+m）=（m-1）/2=（sinA+cosA-1）/2=21/2sin

（A+π/4）/2-1/2，因为A+π/4 的取值范围在（2kπ-π/2，

2kπ+π/2），k∈Z，故可解得角度A 的取值∈[2kπ-3π/4，

2kπ+π/4]，k∈Z。同时，由于分母（1+sinA+cosA）≠0，故21/2sin

（A+π/4）≠-1，进而A≠2kπ-π/2 且A≠2kπ-π，因此最终

求得函数g （A）=sinAcosA/ （1+sinA+cosA） 的递增区间为

[2kπ-3π/4，2kπ-π/2]、[2kπ-π/2，2kπ+π/4（] k∈Z）。

三、不考虑复合函数的性质

对于复合函数的性质欠考虑导致的问题求解出错：

如在求解函数g（A）=3sin（π/4-3A）的单调递增区间问题

中，易犯的典型错误即对于复合函数性质的忽视，比较典型的

错解：

假设m=π/4-3A， 那么g （m）=3sinm 有递增区间

[2kπ-π/2，2kπ+π/2]（k ∈Z）， 故2kπ-π/2 ≤π/4-3A ≤

2kπ+π/2，进而解得2kπ/3-π/12≤A≤2kπ/3+π/4，（k∈Z），

故所求函数g （A）=3sin （π/4-3A） 的单调递增区间为：

[2kπ/3-π/12，2kπ/3+π/4（] k∈Z）。

分析：该问题的解题过程中，对于m=π/4-3A 函数自身性

质欠考虑，忽视其为减函数，且g （m）=3sinm 在[2kπ-π/2，

2kπ+π/2]（k∈Z）内为递增的，所以g（A）=3sin（π/4-3A）在

[2kπ/3-π/12，2kπ/3+π/4（] k∈Z）区间内单调递减。

正解：假设m=π/4-3A，由g（m）=3sinm 为减函数，如果

m ∈[2kπ-π/2，2kπ+π/2]（k ∈Z）， 则函数g（A）=3sin

（π/4-3A）单调递增，故-2-kπ+π/2≤π/4-2kπ+3π/2，因此

函数g（A）=3sin（π/4-3A）的单调递增区间为：[2kπ/3-5π/12，

2kπ/3-π/12（] k∈Z）。

四、不考虑三角形边角关系

对于三角形边角关系欠考虑导致的问题求解出错：

如：在三角形QWE 中，角E=15°，w=23/2，q=2，求解Q 角

度。该问题中，易犯的典型错误即对于三角形边角关系的忽

视，比较典型的错解：

根据三角形余弦定理，可得e2=q2+w2+2qwcos15°，代入已

知条件，得：e2=4+8-2×2×23/2×（61/2+21/2）/4=8-4×31/2，故求得

e=61/2-21/2，再根据正弦定理，得：sinQ=qsinE/e=1/2，而角Q∈

[0°，180°]，故角Q 的取值为30°或150°。

分析：该问题的上述解法未考虑三角形边角关系“大边对

大角”而造成求解结果的错误，由题意知，w>q，故角W 值也大

于角Q 值，故可排除角Q 为150°的取值。

正解：根据三角形余弦定理，可得e2=q2+w2+2qwcos15°，

代入已知条件，得：e2=4+8-2×2×23/2×（61/2+21/2）/4=8-4×31/2，

故求得e=61/2-21/2，再根据正弦定理，得：sinQ=qsinE/e=1/2，而角

Q∈[0°，180°]，故角Q 的取值为30°或150°，再由三角形

边角关系“大边对大角”得出角W 值大于角Q 值，因此角Q 值

为30°。

参考文献：

[1]吴亮亮.从解三角形的“误”中“悟”[J].福建中学数学，2016（6）.

[2]陈海燕.浅谈高中数学“解三角形”的实践与思考[J].新课程学习

（下）.2014（2）.