浅析抽象函数常见解法

严  羽
（福州第四中学，福建  福州  350009）

摘  要：抽象函数是基本函数的延伸和升华，更深入表现了函数的实质。本文通过教学实例，对抽象函数的求解方法进行归纳，帮助学生理解抽象函数。
关键词：抽象函数；换元；赋值；去壳；模拟
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

函数是高中数学的重要部分，贯穿了整个高中课程。抽象函数作为基本函数的延伸和升华，不仅符合函数的所有规律和性质，其抽象性更能使函数得以本质表现。“抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。” 这种隐蔽性让学生对研究抽象函数问题，感到力不从心。如何求解抽象函数问题呢？笔者把具体求解方法归纳为以下几种:
一、整体换元法
（一）用换元法求函数解析式
例题1.1、已知 ，求 的解析式。
解：令 ，则 ，∴ ∴  ， 。
点评：令  ，再把所有的 换元成用 表示的式子，同时要注意新换的元的取值范围 ，即 的定义域。
（二）用换元法求抽象函数定义域
例1.2、（备注：2013高考大纲理科第4题）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域（    ）
解： 
点评：根据函数定义域的概念，  是指 中 的取值范围，用换元的思想把 中的 替换为 ，  ，从而 。
（三）用换元法解释函数图像的左右平移
事实上， 的图像是由 图像向左移动 个单位得到；  的图像是由 的图像向右移动 个单位所得到。
例题1.3、（备注：2013高考新课标卷）若函数 的图像关于直线 对称，则  的最大值是______.
解：由于 的图像关于 对称，于是若图像向右平移2个单位，即 就关于 对称，根据偶函数的性质，奇次方的系数为0，化简 展开式中奇次方 、 的系数为 和 所以 ，进一步得到 。
点评：用 替换 中的 ，由 关于 对称，  关于 对称，体现换元思想。
二、赋值法
给出了抽象函数所满足方程或恒等式，可以根据所需要的量进行赋值。
（一） 利用赋值法解方程求函数解析式
例题2.1：.已知函数 满足 ，求 的解析式
解：  ，把该公式中的 赋值成 ，得
 ，这里只有两个未知量，由两个方程，所以可以解出 的解析式。①×2－②得 ∴
点评：赋值关键是根据需要，使未知量减少。比如有些学生就把 赋值成 得到： ，这样有三个未知量，却只有两个方程，无法解决问题。
（二）利用函数赋值法判断函数单调性
例题2.2、已知函数 满足下列几个条件：①当 时， 恒成立② ，③对于任意的 ，都满足 ，求 在 上的值域。
解：令 ，则  
把 赋值为  又  ，  为奇函数。
设任意 则 ， 由条件可得：
 为奇函数
 是增函数，  的值域为
点评：在赋值的时候要目标明确，使变量减少。比如要证明单调性，即判断 时 的符号，这时就需要利用题设中给出的恒等式或不等式，用 赋值，得到 。
（三）利用赋值法求函数周期
例题2.3、已知 是定义在 上的偶函数且满足 ，同时在区间 上是减函数，比较 的大小___________________
解：   
又因为 是偶函数而且在 上是减函数，所以
点评：要求 的周期性，主要是找到 ，赋值是要根据需要消掉 中的负号， 将原等式中的 赋值为 。同理还可以证明⑴
⑵
⑶
⑷
三、去壳法
例题3.1：已知 是偶函数且在 上是减函数，若  ,则 的取值范围是（     ）
解： 偶函数 轴左右两侧单调性相反， 
点评：利用图像的性质去掉 ，达到去壳求 的简化作用。有时利用图像还能避免分类讨论的麻烦。
四、模特拟合法
在处理抽象函数的选择题时，我们通常根据题设中所给出的恒等式或条件，选择用一些具体的函数来做模特拟合，往往会有意想不到的捷径。
例如：1、 ：用正比例函数 拟合。
2、 或 ：用指数函数拟合。
3、 或 ：用对数函数拟合
4、 或 ：用幂函数拟合
5、周期函数 或有两个对称的（中心对称或轴对称）：用正弦函数或余弦函数的变形拟合
6、 ：用正切函数拟合
例题4.1：已知函数 满足下列几个条件：①当 时， 恒成立② ，③对于任意的 ，都满足 ，求 在 上的值域。
解：由已知 可得：函数 可以用正比例函数 作为模特进行拟合，又因为 时，都有  模特进一步确定为 。这样的模特拟合法，为题目指明方向 画出 的草图，马上可以推出 上有最大值 。
点评：例题2.2和例题4.1给出了同一题的两种解法，经过比较可以直观看到，解决客观题时，让基本函数出来走秀，做模特拟合，明显更有效率。
例题4.2：（备注：2009高考全国卷理科）设 是一定义在R上的函数，若 与 都是奇函数，则（  ）．
(A)  是偶函数            (B)  是奇函数         
(C)             (D)  是奇函数
解:   与 都是奇函数，于是他们都关于点 对称。利用换元法进行图像平移，即函数 既关于点 对称，又关于点 对称，用正弦函数的变形图像 来拟合，从而可知周期为4，再从图像上观察 应该是奇函数.故选D.
点评：抽象函数 有两个对称的(对称中心，对称轴)，可以用正弦函数的变形出来做模特，从图像上直观地观察出函数的周期，为解题指明方向。不过这种用具体的基础函数拟合的模特法，也有局限性。比如在解决主观解答题或证明等就有局限，要注意灵活变通转化。
抽象函数使函数的整体转化思想，方程思想，建模思想得以具体体现。通过探索总结，我们发现抽象函数也是有法可依。所以认真归纳、揣摩是破解高考试题中抽象函数的法宝。

参考文献：
[1]韩清海.新课标高中总复习导与练[M].西安:陕西人民教育出版社,2012.
[2]薛金星.中学教材全解[M].西安:陕西人民教育出版社,2002.