三阶实矩阵特征值的求解

摘要：本文主要介绍求三阶实矩阵特征值的四种方法，包括提取因式法、加边法、凑因式法以及试根法，并以历年考研真题给出了具体的示例。

关键词：三阶实矩阵；特征值；试根法

一、引言

矩阵的特征值问题在工程和科学技术中都有着非常广泛的应用，比如大型桥梁或建筑物的振动问题，计算流体力学、量子力学、化学工程和网络排队的马尔科夫链模拟等实际问题，最后都要归结为求矩阵的特征值问题。因此，对矩阵特征值的问题的求解，在工程和科学技术当中是非常常见的一类问题。本文主要介绍四种求三阶实矩阵特征值的方法。从近几年的考研试题中不难发现，判定矩阵能否对角化或者把一个二次型化为标准形是考察的重点，而在这些考点中，第一步也是最基本的一步就是求矩阵的特征值。我们知道，求n 阶矩阵A 的特征值就是求特征方程| A ?? E |? 0的实数根? ，这里的E为n阶单位方阵。考研试题中考察最多的情形就是当A为三阶矩阵时的特征值求解，此时它的特征方程就是关于? 的一元三次方程，而一元三次方程根的求解较为复杂，有时计算量也会非常大，但是如果求不出它的特征值，则后面更加无法求出它的特征向量。下面我们就以三阶实矩阵为例总结几种易于操作而又实用的求矩阵特征值的方法，对于每一种方法我们都会给出相应的例子来演示具体的求解过程。本文大部分的例子都来源于历年的考研真题，即把考研真题中求特征值这一步单独拿出来作为我们的例子。

二、提取因式法

如果特征多项式| A?? E |通过利用行列式的性质化简后，可以使得其中某一行（或列）上的元素中只有一个元素非零并且是关于? 的一次因式，此时我们就可以将行列式按此行（或列）进行展开（即可提取出关于? 的一个一次因式），那么矩阵A 的特征多项式| A ?? E |就等于一个? 的一次因式与一个二阶行列式的乘积，其中二阶行列式的值就是关于特征值? 的二次多项式，对其进一步通过使用十字相乘法或者利用一元二次方程的求根公式进行因式分解，就可以最终求出矩阵A的三个特征值，此种方法我们称为“提取因式法”。

六、总结

不难发现，以上方法基本是按照从易到难的顺序排列，大家在具体的计算过程中可按照此顺序依次的求解特征值。另外，从历年的考研试题来看，利用方法四或五几乎可以求解历年考研题中所有的三阶实矩阵的特征值。因此，读者也可主要使用方法三或者四，而把其它的方法作为辅助的工具。总之，求解矩阵特征值问题的方法不是一成不变的，大家需要根据题目的特点，灵活的使用以上四种方法就可起到事半功倍的效果。

参考文献：

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资助基金: 北方工业大学教育教学改革和课程建设研究重点项目、北方工业大学课程建设（18XN009-069）和“一带一路”基地人才培养基地项目。

作者简介：徐文琴，女，北方工业大学理学院。