解决恒成立问题的几个方法

谢祥江
             （安义县第二中学，江西  南昌  330500）    
摘  要：恒成立问题是历年高考数学的一个热点，是有一定的难度、综合性强的题型。其涉及到常见函数的性质、图象,不等式与方程，考查学生对换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想与方法灵活运用，对学生综合分析问题与解决问题的能力要求较高。本文就实例谈谈这类问题的一些求解方法。
关键词：恒成立；高考数学；求解方法
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有
1） 对 恒成立 ;
2） 对 恒成立 
若是二次函数在指定范围内恒成立问题，则可以用韦达定理以及根的分布的知识求解.
例1．若函数 在R上恒成立，求m的取值范围。
分析：该题就转化为被开方数 在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。
略解：要使 在R上恒成立，即 在R上
恒成立。
   时，   成立
   时， ，
由 ， 可知，
例2．若对任意的实数 ，总有 ，求 的取值范围。
解：原不等式化为
令 ，则 ，即 ，在 上恒成立。
（1）
（2）  
（3）
由（1），（2），（3）可得， 。
二．分离参数，化为最值
若 ， 存在最大值和最小值，对于区间 上的任意 ，都有 恒成立，则 ；
对于区间 上的任意 ，都有 恒成立，则 。
例3．已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围。
解： 将问题转化为 对 恒成立。
令 ，则
由 可知 在 上为减函数，故
∴ 即 的取值范围为 。
例4．已知向量 若函数 在区间 上是增函数，求t的取值范围.
依定义 
 在区间 上是增函数等价于 在区间 上恒成立;
而 在区间 上恒成立又等价于 在区间 上恒成立;
设
进而 在区间 上恒成立等价于
考虑到 在 上是减函数,在 上是增函数,
则 .  于是, t的取值范围是 .
三、变换主元法
在处理含有两个变量恒成立的一些问题时，根据要求适当选取其中一变量为主元，能使问题简化。
案例5  集合A={t|t2-4≤0}，对于满足集合A的所有实数t，则使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为什么？（2010年模拟）
解：∵A={t|t2-4≤0}，     ∴A=［-2,2］,
∵（x-1)t+x2-2x+1>0对t∈A恒成立，
∴f(t)=(x-1)t+x2-2x+1对t∈［-2,2］恒有f(t)>0，
∴      即  ，解得  
∴x的取值范围为：x > 3或x < -1
例6．对于满足|a| 2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
 即 解得：
∴x<-1或x>3.
四、数形结合法
有些恒成立问题可以通过函数的图像来体现，直观，明了。
例7．函数  ,  ,
若恒有 成立,求 的范围.
解：通过这两个函数，我们不难看到，一个是半圆 ，一个是斜率 的平行直线系 ，如图所示。要使 恒成立，
则圆心 到直线 的距离
满足  
解得 （舍去)
通过以上几个实例，我们可以看到恒成立问题其涉及的知识点多，不同的问题使用方法也不同，但其核心思想还是等价转化，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。