“数形结合”的蛛丝马迹

吴敏强
（苏州市吴江盛泽中学，江苏  苏州  215228） 
摘  要：“数形结合”思想在高中数学中有着举足轻重的地位，并得到了广泛的应用。而我们的学生总是不能很好的发现“数形结合”的切入点，进而影响解题的效率。本文在高中数学常见的几个领域中，例析并归纳了“数形结合”所带的特征，捕捉它所特有的蛛丝马迹，让我们学生能对“数形结合”有迹可循。
关键词：数形结合；特征；高中数学
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

纵观历年高考卷，我们几乎可以在每份试卷上找到“数形结合”的身影，而每一次它的出现都意味着这个题有着奇妙的解法，可以让我们在极短的时间内取得好的效果！但我们的学生缺乏对“数形结合”身影的捕捉能力，无法在第一时间想到“数形结合”，从而影响解题效率。因此，我们要想办法让我们的学生能更加敏锐的发现隐藏在题干中的“数形结合”。本文就这一问题，在高中数学常见的几个领域中，例析并总结归纳了“数形结合”所带有的特征，捕捉“数形结合”的身影，让“数形结合”现出原形。
一、从无理函数中发现数形结合
例1 求函数定义域
法一：常规解法:通过不等式组 可得到函数的定义域是 。
法二：数形结合：对于法一不等式组中 ，
我们可设 ， ，
因为 表示以 为圆心，2为半径，在x轴上方的半圆， 表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图1所示，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得 ，故函数的定义域是
【点评】 本题是一个求解函数定义域的问题，其本质是求解不等式，而题中“数形结合“的切入点是对不等式 的判定，把不等号两边看成两个函数，而右边部分无理函数恰好能表示一个半圆，故可以考虑利用几何图形解题
【归纳】 形如 （ ）的函数可化为 ，表示半圆；
形如 的函数，若 ，  则上述函数可化为 表示椭圆上半部分，若 ，则上述函数可化为 表示双曲线上半部分；
形如 的函数，则可化为 示抛物线上半部分
二、从线性规划类问题中发现数形结合
例2 已知 满足不等式  （1）求 的取值范围；（2）求 的取值范围；（3）求 的取值范围。
分析：本题给的是两个变量的不等式，求解的是与这两个变量有关的算式范围。难点在通过条件所给的不等式不能得到两个变量之间的关系，无法进行消元，仅从代数角度难以求解。但条件又给了突破口的，在于对不等式 的判定，此不等式其实是从圆方程 演变而来，故可表示圆及圆的内部，把从 看成是圆内的点的坐标，找到突破口，从几何角度来表示所给算式，进而求解。
（1） 把 看成点 与点 所连直线的斜率，而点 是
圆 上及圆内的点，如图2所示故从图像可得， 的最大
和最小值分别是过点 与圆相切的两条切线的斜率，求得为 ，
故取值范围为 
（2）把 看成点 到点 距离的平方如图3所示，最大
值为 ，最小值为
（3）令 ，则 ，故可把 即 看成是直线
在 轴上的截距，而此直线 是过圆 上及圆内点
的，如图4所示，当直线与圆相切是， 轴上的截距 分别取得最大，最小值
分别为 ， ，故取值范围为
【点评】 线性规划本身是典型的数形结合思想解题的应用，而本题从线性规划出发，又高于线性规划，要求解题者分别从与圆有关的不等式，斜率，点线距离，直线截距四个角度进行从数到形的转化，结合图像求得答案。此类问题的求解要求我们必须对各种图形的代数表达熟悉，并能熟练转化，故在此归纳了部分常见的数形转化表达式
【归纳】形如 ，可转化成点 与点 所连直线的斜率；形如 ，可转化成直线 在 轴上的截距；形如 ，可转化成点 到点 距离平方；
形如 ,可转化成圆 上及圆内部分；
形如 ，可转化成椭圆 上及椭圆内部分
三、从函数零点、方程的根中发现数形结合
例3 求函数 在 上零点的个数
分析：这是一道函数零点与方程的根的问题，从函数角度，这个函数图像比较难画，从方程角度，可以转化成求超越方程 的根，学生无法求解。但若进一步转化成求方程 的根，把等号两边看成是函数 与 ，则原题可化为求解上述两简单函数的交点问题，通过图像解答。
解答：把原问题转化为求方程 在 上根的个数，即函数 与 在 上交点个数，观察函数图像， 可知交点个数为3个，故函数 在 上零点的个数为3个。
【点评】 函数零点问题是高考的热点，除了直接求解之外，利用数形结合，通过适当化简，把等号两边转化成两个简单函数，可转化为两个简单函数交点问题，进而通过图像求解，极大的减少了计算量，能使学生用最短的时间得到最好的效果。对于一些复杂函数，可以利用函数单调性，画出函数草图来解决问题。
四、从函数值域与最值问题中发现数形结合
例4 求函数 的值域
法一：代数方法求解
    原式化为：    故          
 化简得 ，故
法二：数形结合
    看成是点 到单位圆上点 连线的斜率，如图6所示，故 的最值就是当直线 与单位圆相切时的斜率
设切线斜率为 ，则直线 ：
  故   求得  所以函数的值域为
【点评】对于第一种纯代数的方法我们是能够求解本题，但利用了三角函数的相关知识，而如果学生对这部分知识不是很熟悉的话就会无从下手，所以我们另辟蹊径，从表达式的形式入手，看成是点 到单位圆上点 连线的斜率，进而求解。
例5 求函数 的最小值
分析：这个题目表面上是一个双变量无理函数，常规代数方法难以求解，但我们对这个表达结构进行变形，得到 
不难发现，这个表达式其实是动点 到两个定点 距
离和，如图7所示，当点 位于线段 上是，距离最小，所以
以上是从无理函数，线性规划类问题，函数零点与方程的根的问题以及函数值域类问题中展示了如何来寻找“数形结合”的方法，并归纳了高中阶段我们常见的一些能用于数形结合的表达式，从这些例题中，我们可以看到“数形结合”并不是天马行空，它完全有迹可循，只要你熟悉我们常用的图形表达式，多看多练，就能在解题的第一时间发现其中隐藏着的“数形结合”，简化解题过程，提高解题效率，本文描述了如何去发现“数形结合”，归纳了“数形结合”的特征，让“数形结合”能为每一位学生所用。