浅谈多项式分解的几种方法

王 欣 长春师范大学 130000

【文章摘要】

 　　多项式的因式分解，在数学中有着广泛的应用。在实际学习工作中, 常会遇到多项式的因式分解问题。不仅如此，因式分解对学习灵活解题的思想上也有着一定的启发， 对多学科的学习有着借鉴作用，是理工科进行深入学习的基础工具与解题技能。本文给出多项式在有理数域上因式分解的几种方法, 并给出具体实例加以应用。

【关键词】

整系数多项式; 因式分解; 辗转相除法； 最大公因式

定义1 例如， p是一个集合，其组成部分为复数，包括0 和1。加入p的集合中任意的两个数（这两个数可以是同一个数）和、差、积、商（除数此时不能为零）仍然是p中的数，那么p就可以称为一个数域。并且，有理数域是最小的数域。

定义2 2 0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x = + + + ⋅⋅⋅+ ， （n z+ ∈ ）称为数域p上的一元多项式。其中0 1 2 , , , , n a a a a p⋅⋅⋅ ∈ ，用(), () f xgx⋅⋅⋅表示。

若0 ≠ n a ，则称n a 为首项系数，n则被称为多项式的次数，用)(( xf ∂表示。0 a 为常数项。

该定义是文字x的形式表达式，给x赋予不同意义，其多项式意义不同。若x在实数中取值时，则f 为中学数学中的多项式函数。若x 为矩阵，则f 为矩阵多项式。

定义3 数域p上每个次数1≥的多项式() f x不能表示成数域p上两个次数比()f x低的多项式的乘积，则称()f x为数域p上的不可约多项式。其中，一次多项式总是不可约多项式。v

定义4 设()f x、()gx是数域p上的两个多项式， p 中多项式()dx称为()f x、()gx的一个最大公因式，如果它满足：（1）()dx是() f x、()gx的公因式；（2） ()f x、()gx的公因式都是()dx的因式。通常，我们用( (), ())f xgx表示首项系数是1 的那个最大公因式。

引理1 如果有等式() ()() () f xqxgxrx= + 成立，那么(), ()f xgx和()gx、()rx有相同的公因式。

1 数的辗转相除法

设两数为a、b(a>b)，求a 和b 最大公约数(a， b) 的步骤可以如下：用a 除以b，得a÷b=q......r1(0 ≤ r1)。即： a=b*q+ r1，不难理解： (a， b)= (b， r1)。假如r1=0，那么(a， b)=b ； 如果r1 ≠ 0，并且再用b 除以r1，其结果为b÷r1=q......r2 (0 ≤ r2） . 假如r2=0，则(a， b)=r1，如果r2 ≠ 0，则同样可以使用r1 除以r2， ……循环往复，最终得到整除结果。并且，在该过程的最后一个为被除数的余数的除数则为(a, b)，该过程中所使用的方法就是辗转相除法。

2 多项式的辗转相除法

在整数运算过程中存在辗转相除法的现象，然而，多项式也有与整数运算相类似的性质．通过引理1，假设()ax和()bx是两个多项式．用()bx除()ax获得结果0() a x，并且计算后的余式为()rx，其计算式为0 () ()() ()axa xbxrx= + ，并且() rx的次数要小于()bx的次数．加入() 0rx= ，那么() ax、()bx中存在的最大公因式则是()bx．假如() 0rx≠ ，那么用()rx除()bx得结果为1()a x， 其计算后的余式为1()r x，计算表达式可表示为1 1 () ()() ()bxa xrxr x= + ，这里所写到的1()r x的次数要小于()rx的次数．假如1() 0r x= ，那么() rx可以被看成是()ax和()bx之间存在的最大公因式．假如1() 0r x= ，那么用1()r x与()rx之间的计算表达式为 2 1 2 () ()() ()rxa xr xr x= + ， 2()r x的次数要小于1()r x的次数．循环往复，能够得到一系列的多项式，如()rx， 1()r x， 2()r x， …其中，这些多项式的次数一个比一个小．然而， 这种次数并不能一直小下去，在计算到一定程度后一定会出现1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n r x a x r x r x − + + = + 和 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n r x a x r x + + = 的结果．因此可以计算出： 1( ) nr x + 是()ax与()bx的最大公因式(证明让读者自己补出)．同样不难证明，如果()dx是()ax，()bx的最大公因式，则一定有两个多项式()px与()qx，使() () ()() () axpxbxqxdx+ = 。

引理2 因式分解及唯一性定理 在数域p上所存在的任意一个次数大于等于1 的多项式()f x都能够进行唯一性分解，分解成数域p上一些不可约多项式的乘积的形式。这里所说的唯一性是指：假如存在两个分解式1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t f x p x p x p x q x q x q x = = ， 那么则一定存在s t= ，并且通过一定的排列因式的顺序后存在( ) ( ) i i i p x c q x = ，1,2,, i s =, 并且i c（1,2,, i s=）是一些不为零的常数。

3 多项式因式分解的几种方法

在过去的学习过程中，我们对因式分解进行过较为系统的学习，其中心思想是将原多项式进行因式分解，分解成为不可约多项式的乘积的形式。这里所提到的次数大于1 的概念其实不是绝对的，而是相对于系数所在的数域而言。例如，

4 2 2 9 (3)(3)xxx− = − + （在有理数域上不可分）

2 (3)(3)(3)x x x= − + + （在实数域上不可分）

(3)(3)(3)(3)x x x ix i= − + − + （在复数域上不可分）

由此可见，必须明确系数域后，所谓的不能再分才有确切的涵义。

多项式的因式分解和整式乘法互为逆运算，是代数学中恒等变形的一部分，也是解决数学问题的重要方法。多项式分解的方法很多，但具体到实际问题，要针对其特征，选择合适的方法，提高解题效率。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法等。本文主要介绍运用多项式的标准分解式和几类常用的方法。

3.1 根据多项式的标准分解式

由引理2 知任意的一个次数大于零的多项式都可以分解成1 2 1 1 1 2 ( ) ( )( )( )t kk k t f x ap x p x p x − − = ⋅⋅⋅ ， 设1 2 1 1 ' 1 2 ( ) ( )( )( )( ) t kk k t f x ap x p x p x g x − − = ⋅⋅⋅ 其中每个( ) i p x 都不能整除()gx， 1 2 1 1 1 ' 1 2 ( ( ), ( ) ) ( )( )( )t kk k t f x f x p x p x p x − − − = ⋅⋅⋅ 存在1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t q x ap x p x p x = ⋅⋅⋅ 使' () ( (), ())()f xf xf xqx= 由此可见，()qx和() f x具有完全相同的因式，差别只是()qx中的因式的重数为1，所以求()f x的因式就可以化为求()qx的因式。

3.2 提公因式法

提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。如果多项式的第一项系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

3 .3 运用公式法

运用公式法，首先要熟练掌握公式，本文主要介绍这几种公式：

①平方差公式： 2 2 ()() aba ba b− = + −

②完全平方公式：

2 2 2 2()aab ba b± + = ±

③立方和公式：

3 3 2 2 ()() aba baab b+ = + + +

立方差公式：

3 3 2 2 ()() aba baab b= + + − −

④完全立方公式：

22 3 3 3 33()ab abba ab± + ± = ±

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

【参考文献】

[1] 杨子胥。《高等代数精选题解》。北京；高等教育出版社，2008 ；