矩阵零空间在电网分析中的应用

王华颖 北京航空航天大学数学与系统科学学院 北京 100191

孙延修 沈阳工学院 辽宁抚顺 113122

【文章摘要】

本文旨在表明矩阵理论在电网拓扑连接中的初步应用。通过考察转置关联矩阵的零空间，揭示零空间中的非零向量与电路分析中基尔霍夫定律的等价性，并以线性无关组来剔除网络中的回路，为实际中屏蔽电路中的冗余回路提供了代数方法。

【关键词】

关联矩阵；零空间；基尔霍夫定律

0 引言

本文以一个图为例，意在说明关联矩阵零空间在电路分析中的表示方法和应用。假设电路图为，其中代表4 个结点， 每个节点上可赋予一定的电势；而代表5 条有向边，这里表示从节点到节点的电流方向。在上面的5 条边上，都可以赋予一定的权重，以示电流的大小。电路图G 可下面的关联矩阵表示:

其中，五行对应于E 中的5 条边，比如第1 行表示电流从高电势的节点 (+1) 流入低电势节点 (-1) 的有向边；而4 列则代表四个节点。

1 主要结果

考虑A 的转置的零空间，其中的向量以表示，则有，

， (1)

将之具体展开，即，

， (2)

这四个方程简洁地刻画了电流的守恒。首先，第1 个方程说明，

，

亦即从节点流出的总电流必然等于流回这个节点的电流之和；对于第2 个方程，可以看到，流入的电流等于流出的电流；第三个方程意在说明，由第2 和第4 条边并联流入的电流之和等于流出的电流；而最后一个方程，表示流入的电流等于流出的电流.

上面的方程组表明，电网中的电流必须达到流入与流出的平衡状态，即电流守恒。这就是基尔霍夫定律的主旨。

现在我们来求出方程(1) 的一组基， 也就是求出满足上述电流守恒的一组电流数值。这样我们就将电流守恒中的的电流计算转化为一个齐次线性方程组的求解运算。

我们可以容易地得到一组基，即和，继而得到的列向量的秩为3( 可参见[1])， 易知，其中的第1，第3 和第4 列可以构成一个组线性无关组，置于图G 中来看，它代表了由第1，第3 和第4 条边组成的无回路的树结构，这是电网G 中剔除了所有回路后的结果。

线性无关与”无回路”之间联系紧密， 可参考文献[3] 作进一步深入了解。

2 结论

此文仅分析了节点和边数都较少的电路情况，阐释了矩阵表达电流走向的示意方法。可以设想，当电网复杂多变时，依靠直观是极其困难的，因此，如何将之转化为代数问题将会发现和解释许多不易发觉的现象和问题。另外，上文的结果还可应用于物流管理以及计算机局域网连接等领域，对于矩阵分析理论问题的研究，也仍然是当今的一个热点方向。

【参考文献】

[1]R.Bellman.Introduction to matrix a n a l y s i s . N e w Y o r k , M c G r a w - H i l l Company,1960.

[2] 梁绍荣, 等. 基础物理学. 北京: 高等教育出版社.2003.

[ 3 ] R . D i e s t e l . G r a p h t h e o r y . Springer.2010.

【作者简介】

王华颖，男，北京航空航天大学，博士研究生。046

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