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    2014年1月06日 16:19 作者:曹卫民

    紧扣“条件”、定位“目标”合理转化与化归
    曹卫民
    (海门中学,江苏  南通  226100)

    摘  要:“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对给定的已知条件换一个方式、角度、观点加以考虑,在数学问题研究中,把要解决的问题通过合理的转化,化归为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而使问题得到圆满解决的思维方法。
    关键词:转化与化归;条件;目标
    中图分类号:G633    文献标识码:A        文章编号:

    转化的基本策略就是要关注解决问题的目标,才保证转化后的结论对解决问题更有效。紧扣“条件”、定位“目标”,往往能使问题轻松获解,兹举数例说明。
    例1.已知 的三边 和面积 满足关系式 且 ,则 面积最大值         .
    分析:本题条件共有两个,面积 与边 的等量关系及 的和为定值,目标是确定 的面积的最大值。由于 为定值,根据基本不等式可知 有最大值,于是选择面积公式 ,那么角 应该是确定的,进一步推测可知条件 是用来确定角 ,尽可能将条件转化为和角 有关即可。
    解:由 得 (1) 又由余弦定理 (2),由(1) (2)可得 ,不难解得 ,而 即 当且仅当 取等号,所以
    例2. 已知可导函数 的导函数 满足 ,则当 时, 和 ( 是自然对数的底数)大小关系为          .
    (法一)分析:从条件入手,由函数 的任意性,可选择特殊函数且满足 即可。
    解:令 ,此时 即可得到 
    (法二)分析:此题也可从目标入手,比较  不难发现可将 变形成 ,即比较 与 ,化归成对偶式 , ,于是构造函数
    解:令 ,所以
    所以 为 上的增函数,而 ,因此 ,即可得到答案。
    例3.已知 是定义在 上的不恒为零的函数,且对于任意 满足 ,若 , ,( ),求数列 的前 项和 .
    分析:从条件看它是一个抽象函数形的数列问题,似乎转化的目标不是非常清晰,那么我们可以研究最终的目标,它是要求数列的和,于是只要求得通项即可对数列进行求和。即求 ,通过条件 ,转化为求 ,于是根据抽象函数 所满足的方程 ,
    得 =  
    于是推出 为定值,即可判定 为等差数列
    解:令  又  
    所以 ,也即 是以 公差 等差数列,故 ,因此 ,即
    不难判断 为等比数列,所以
    例4.设二次函数 ,方程 的两个根 满足 .当 时,求证:
    分析:从条件来看,是一个二次函数,二次方程的零点和根的形式,要证明的是二次不等式组,本题中选择二次函数的合理形式对解决该题起着至关重要的作用,条件和结论中均与根有关,故选择二次函数的零点式令 ,这样就不难解决。
    解:因为方程 的两个根 ,令
       由 且 ,故 ,而 
       又 ,易得
       因此  
       由  而 ,从而 ,结论得证。
    例5.如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的左、右焦点分别为 , .已知 和 都在椭圆上,其中 为椭圆的离心率.
    (1)求椭圆的方程;(2)设 是椭圆上位于 轴上方的两点,且直线 与直线 平行, 与 交于点P.求证:  是定值.

    解析:(1)易求得 (2)目标是证明 是定值,可从以下角度进行化归。
    分析:从特殊位置入手,由 // ,当 轴, 轴时,可以求得 , 进而可以求得 ,考虑到 是定点,可以判断点P的轨迹是以 为焦点的椭圆,下面即可探求P的轨迹方程。不妨设 由于 // ,
    ∴ 于是 ,化简得:
    ①又 : ②, : ③,
    联立①②③可得 ④
    设 : 代入 得 ,又 ,  同理,  
    将点 的坐标代入④得 ,消去参数 得: ,由椭圆的定义可得 为定值。
    在数学问题的实施转化时,常遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把遇到的问题,根据条件和目标可能的联系,通过合理转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,转化成比较简单的问题,结合条件与目标进行数学问题的转化,有如顺水推舟,层层渗透以便高效快速解决问题。

     

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