紧扣“条件”、定位“目标”合理转化与化归

紧扣“条件”、定位“目标”合理转化与化归
曹卫民
（海门中学，江苏  南通  226100）

摘  要：“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对给定的已知条件换一个方式、角度、观点加以考虑，在数学问题研究中，把要解决的问题通过合理的转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法。
关键词：转化与化归；条件；目标
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

转化的基本策略就是要关注解决问题的目标，才保证转化后的结论对解决问题更有效。紧扣“条件”、定位“目标”，往往能使问题轻松获解，兹举数例说明。
例1．已知 的三边 和面积 满足关系式 且 ，则 面积最大值         .
分析：本题条件共有两个，面积 与边 的等量关系及 的和为定值，目标是确定 的面积的最大值。由于 为定值，根据基本不等式可知 有最大值，于是选择面积公式 ，那么角 应该是确定的，进一步推测可知条件 是用来确定角 ，尽可能将条件转化为和角 有关即可。
解：由 得 (1) 又由余弦定理 (2)，由(1) (2)可得 ,不难解得 ，而 即 当且仅当 取等号，所以
例2. 已知可导函数 的导函数 满足 ，则当 时， 和 （ 是自然对数的底数）大小关系为　        　．
（法一）分析：从条件入手，由函数 的任意性，可选择特殊函数且满足 即可。
解：令 ，此时 即可得到 
（法二）分析：此题也可从目标入手，比较  不难发现可将 变形成 ，即比较 与 ，化归成对偶式 ， ，于是构造函数
解：令 ，所以
所以 为 上的增函数，而 ，因此 ，即可得到答案。
例3．已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意 满足 ，若 ， ，（ ），求数列 的前 项和 .
分析：从条件看它是一个抽象函数形的数列问题，似乎转化的目标不是非常清晰，那么我们可以研究最终的目标，它是要求数列的和，于是只要求得通项即可对数列进行求和。即求 ，通过条件 ，转化为求 ，于是根据抽象函数 所满足的方程 ，
得 =  
于是推出 为定值，即可判定 为等差数列
解：令  又  
所以 ，也即 是以 公差 等差数列，故 ，因此 ，即
不难判断 为等比数列，所以
例4．设二次函数 ，方程 的两个根 满足 ．当 时，求证：
分析：从条件来看，是一个二次函数，二次方程的零点和根的形式，要证明的是二次不等式组，本题中选择二次函数的合理形式对解决该题起着至关重要的作用，条件和结论中均与根有关，故选择二次函数的零点式令 ，这样就不难解决。
解：因为方程 的两个根 ，令
   由 且 ，故 ，而 
   又 ，易得
   因此  
   由  而 ，从而 ，结论得证。
例5．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；（2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点P．求证：  是定值．

解析：（1）易求得 （2）目标是证明 是定值，可从以下角度进行化归。
分析：从特殊位置入手，由 // ，当 轴， 轴时，可以求得 , 进而可以求得 ，考虑到 是定点，可以判断点P的轨迹是以 为焦点的椭圆，下面即可探求P的轨迹方程。不妨设 由于 // ，
∴ 于是 ，化简得：
①又 ： ②， ： ③，
联立①②③可得 ④
设 ： 代入 得 ，又 ，  同理，  
将点 的坐标代入④得 ，消去参数 得： ，由椭圆的定义可得 为定值。
在数学问题的实施转化时，常遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题，根据条件和目标可能的联系，通过合理转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，转化成比较简单的问题，结合条件与目标进行数学问题的转化，有如顺水推舟，层层渗透以便高效快速解决问题。