“再创造”理念下初中数学例题学习的反思指导

刘  静

（杭州市余杭区太炎中学，浙江  杭州  311121）

摘  要：本文以荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”理论为依据，提出了本文的论点：认为“反思”对学生学习的“再创造”起着关键的调控作用，“再创造”的层次性、活动性、主动性原则又对学生“反思”引导具有指导意义．文章以初中数学例题学习反思指导为切口，分遵循“再创造”的层次性原则， “反思”数学基本知识和技能，积累数学活动经验；遵循“再创造”的活动性原则， “反思”数学思想方法，提升数学思维品质；遵循“再创造”的主动性原则， “反思”数学学习方法，养成良好学习习惯三方面对例题教学中的反思指导作了理性思考，并联系教学实践做了操作性的阐述．

关键词：再创造；例题教学；反思；指导

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、初中数学例题教学中存在的问题

初中数学教学离不开例题教学．然而目前我们的数学课堂很重视课题引入和新知建构的“前半段”教学，常常忽视以例题教学为核心的“后半段” 的课堂教学．在例题教学活动中或重结果，轻过程，学生思维僵化；缺乏问题意识，就题论题；或思路分析单一，忽视反思拓展延伸等等．

结合数学例题教学的特点和当前例题教学存在的问题，笔者认为数学例题教学不是单纯的知识翻版，而是一种“再创造”。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：数学教育方法的核心是学生的“再创造”。这就要求学生在例题学习过程中能主动地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，不断积累经验以形成一定的层次，在合适的时刻进行突破，达到质的变化，从而形成更高层次的学习活动．可见例题的学习过程也是一个不断反思的过程．

二、“再创造”理念下数学例题学习的反思指导策略

（一）遵循层次性原则“反思”数学基本知识，积累数学活动经验

 “再创造”要让学生体验到“如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的．”就是说要让学生关注到数学活动的过程，积累数学活动经验．例题的教学活动是积累数学活动经验的重要载体．在经历例题学习的过程中，引导学生反思，可以帮助他们体验到自己是如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案等．

这一例题为浙教版八下期末综合复习课的一个自编例题．

主要的例题活动过程为：

1.例题回溯（回溯即“回归原点”，从例题的核心问题着手找到已有的生长点．）

问题：怎样才能使得 的值最小？

活动：（1）你碰到过类似的问题吗，说一说．

     （2）已知直线l和点A、B，在l上找一点使得PA+PB的值最小．

利用轴对称变换将折线转化成直线段，依据“两点之间线段最短”就能找到点P.

2.例题探究

①    再审题，思考：

能否用上述方法解决，如果可以，尝试找出与前一方法中对应的直线l和点A、B .

②    发现：

这里的问题与上一问题类似，但不完全一样，这里的确定直线为BD和BC，而定点只有一个，即点C，要找的却有两个点．

③    尝试：

操作一：假设找到了使得 的值最小的点M和N，作出相应的图形．

操作二：结合之前的方法，作图形变换转化相应的线段．

 操作一                              操作二

问题：将点C关于BD作轴对称变换，得到点E,即CM+MN=EM+MN．要使EM+MN的值最小，点E、M、N有怎样的位置关系？作图尝试．

结论：（1） 点E、M、N必定在同一直线上；

     （2）由于N为BC上一动点，所以当过点E、M、N的直线垂直于BC时EM+MN的值最小．

④    学生画出相应点M、N,教师呈现图形．

     图中的点M、N就是作要求作的点．

3. 例题反思：

回忆分析这个问题的过程：

（1）想到了一个类似的问题；

（2）尝试用类似的方法解决但比较发现并不完全相同；

（3）假设找到了结论，作图利用变换试图让结论满足条件；

（4）通过反复尝试逐步得到：点E、M、N必定在同一直线上；由于N为BC上一动点，所以当过点E、M、N的直线垂直于BC时EM+MN的值最小．

这里在解题后要求学生“回忆分析这个问题的过程”，回顾自己“再创造”这种方法的过程．除了对这一问题化归成“垂线段最短”问题解决的方法再一次理解外，更重要的是学生体验到自己是怎样创造出这一方法的．这为数学解题乃至问题解决提供了一种经验参考．

丰富的知识经验是创造的的源泉。没有坚实的数学基础和经验，进行“再创造”就是无根之木，无源之水，最终成为一句空话．反过来，若不关注学生对知识经验的反思，学生就只能成年累月地挣扎在题海之中，学生的个性就会受到严重的抑制．根据课程标准对总目标的阐述可知，这里的“基础”是指适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验．

弗赖登塔尔的“再创造”理论指出学生数学学习应遵循层次性原则，也就是说引导学生反思“新知识、新技能、新方法获得的经验”，是更高层次学习中进行“再创造”的基础．

二、遵循“再创造”的活动性原则，“反思”数学思想方法，提升数学思维品质

“再创造”理论认为：数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳．学一个活动最好的方法是做．数学学习活动的核心是数学思维活动．而“反思是数学思维活动的核心和动力”，在得到例题结果的同时引导学生回顾整个例题解决的思维过程，提升思维的灵活性、敏捷性、独创性、深刻性和批判性．

例3：求证  三角形三个内角的和为180°

本例位于浙江版八下4.2（2），核心问题为证明的方法和表述，体验转化思想．

在教学过程中，先回忆之前用实验方法得到该结论的方法．根据实验得到启发得到证明方法：

则 C=