RMI原则在中学数学中的应用

中学数学中的“化归”是RMI原则的表现形式，RMI原则是在数学中常用的思想，即“关系、映射、反演”原则。说明如下：

令 表示一组原象的关系结构，包括待定原象 。 表示一种映射，假定 被映成映象关系结构 ，其中包含未知原象 的映象 。确定 ，则通过逆映射 确定其它内容。

工程技术用此原则会选映射 确定 ，通过反演寻找目标对象 。本文从数学角度研究RMI原则的应用。

我国当代数学家徐利治先生在《数学方法论选讲》中陈述了这一原理：给定一个含有目标原象 的关系结构系统 ，如果能找到一个可定映映射 ，将 映入 ，则从 通过一定的数学方法把目标映象 确定出来。

步骤为：关系——映射——定映——反演——得解。相关概念如下：数学对象：表述为数学概念的个体。如：数、量、数烈、向量、变数、函数等。

关系结构：数学对象的集合，数学关系指数学对象间确切定义的关系。

映射：在两个数学集合的元素间建立一种“对应关系”，就是一个映射。

定义阐述： 使一个映射，把集合 中的元素映入集合 ， 表示 的映象， 是原象，可记作：

若 是一个关系结构， 能将 映满 ，则 ， 为映象关系结构。若 中包含一个位置性状的对象 ，则 为目标原象，在映射 的作用下， 成为目标映象。

函数法、换元法、参数法、构造法等都属于RMI原则的表现形态。下面我们具体看集中表现形态：

（一）变量待换：是一种简单的RMI原则过程，在讨论变量 时，可用 得到新变量 ，用 代回，得到原来欲求结果。 就是一个映射，整个变量代换过程就是RMI的应用。开方、乘方时可以运用对数。

例1：计算： 的数值。

原象关系 ；映象关系

当 有实数赋值时，可以通过查对数表来计算。在这个例子中，先求映象。

函数中的换元法将函数的“自变量”代之以一个中间变量，找出对应关系，得出函数表达式。如：

例2：已知： ，求 的值

解题过程：令 （ ）

则 ，于是，

以 代 得：

（二）用解析几何法解决几何问题时的遵循RMI原则，通过坐标系，映射 映入一对实数 ，将曲线映为方程，两曲线交点为联立方程的解。如.：

例3：解方程：

分析：直接化简为： ，方程的几何意义是：数轴上对应于 的点与对应2和3的点之间的距离和为1。如图：易得：