圆的标准方程

沈连春
（淮安市楚州中学，江苏  淮安  223200）
摘  要：本节课是苏教版高中数学必修2第二章平面解析几何初步第二节圆与方程的第一课时。本节内容非常重要，在高考中占一定分值。而这节教材安排在学习了直线之后，学习圆锥曲线之前，目的熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备，具有承上启下的作用。本文笔者这一课时进行了教学设计。
关键词：教学设计；圆与方程；曲线
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、教材分析
本节课是苏教版高中数学必修2第二章平面解析几何初步第二节圆与方程的第一课时。本节内容非常重要，在高考中占一定分值。而这节教材安排在学习了直线之后，学习圆锥曲线之前，目的熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备，具有承上启下的作用。
二、学情分析
学生已学完了高中数学必修2的直线方程，对方程有了初步了解，能接受用坐标、方程知识来刻画直线、圆等图形。
三、设计思路
1、本节课通过引导学习主动和合作探究的学习模式之上，采取“问题情境—引导探究—解释、应用”教学策略，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使学生更容易理解和接受。
  2、让学生理解通过建立坐标系的方法推导圆的标准方程。通过求圆的标准方程，理解必须具备两个独立的条件才可以确定一个圆。通过圆的标准方程应用，熟悉用待定系数法求解的过程。
 四、教学目标
（一）知识与技能
1、在平面直角坐标系中，理解圆标准方程的推导过程并掌握圆的标准方程。
2、会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程。
（二）过程与方法
1、让学生逐步体会解析几何的基本思想。
2、让学生理解数形结合思想和待定系数法在求圆方程时的优越性。
五、教学重点和难点
重点：圆的标准方程的求法与应用
难点：圆的标准方程求法
六、教学过程设计
（一）创设情境，引入课题
展示1：生活中常见的圆形物体      展示2 ：隧道的图片及简图 （现场用课件展示）
问题：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
启发：通过上一节课学习，我们知道直线的方程和其上一点的横坐标就可以求纵坐标，例如：已知直线 ，点 是上一点，它的横坐标为1，则 点的纵坐标为________,可否从中受到启发？
如果将半圆所在的圆方程求出来，再将 代入，就可以求出纵坐标，即可判断能否通过。
今天这节课我们来学习如何建立圆的方程，然后用它解决实际问题。
意图：用实际问题引入，激发学生学习新知识的兴趣,同时明确本节课的学习任务。
（二）新课
1、建立圆的标准方程
师：平面直角坐标系内知道哪些条件可以确定一个圆？（引导学生回顾圆的定义）
生：圆心和半径
师：圆上任意一点满足什么条件？（引导启发。并要求用具体式子表示）
生：圆上任意一点到圆心的距离等于半径。
生：此圆是到点 距离等于半径 的点 集合，即
由两点间距离公式得 ，两边平方得
师：该圆上所有点的坐标是否满足该方程，坐标满足该方程的点以否一定在圆上？
生：由刚才推导过程可知，该圆上所有的点满足该方程，反之，若点的坐标满足该方程，则该点到圆心的距离都为 ，由圆的定义知，这样的点在圆上。
师：（总结）方程 叫做以 圆心， 为半径圆的标准方
2、熟悉圆的标准方程结构
例题1、已知圆的方程，写出圆心坐标和半径
（1） ；      （2）
（3）  ；   （4）
由学生口答，在（3）中可以追加问若去掉 这个条件，会出现什么结果？
设计意图：帮助学生熟悉圆的标准方程形式。
3、圆的标准方程求法
例2：写出圆的标准方程
① 圆心在点 ，且半径为5的方程；
② 圆心 ，且经过坐标原点的圆的方程；
③ 已知点 ，求以线段 为直径的圆的标准方程。
设计意图：直接或间接给出圆心坐标和半径，求圆的标准方程，让学生熟悉求圆的标准方程的方法，为下面稍微复杂一点问题做铺垫。
练习 ①求以点 为圆心，并且与 轴相切的圆的方程;
②与两坐标轴都相切，且圆心在直线 上；
③直线 均过圆心，半径为3的圆的标准方程。
设计意图：与例2不同之处是需作图利用圆的几何性质，发现圆心和半径的关系，从而求出圆心或半径。着重训练学生的几何法求圆的方程。
4、现实生活中实际应用问题
例3、完成刚开始时的问题。
设计意图：在掌握圆的标准方程后，让学生练习，体会所学知识的应用价值，从而激发学习数学的激情。
七、课堂小结
（1）知识：圆的标准方程 且 圆心， 为半径。
（2）方法：圆的标准方程求法：待定系数法、几何法。
（3）数学思维
数形结合：利用图像的几何性质，寻找 之间的等量关系；
类比：在研究相似问题时一种很好的方法；
化归：把遇见的新的问题转化为会解决的。
八、布置作业
课本P100习题1，3，6
思考：已知：一个圆的直径端点是  ，
证明圆的方程是 
九、板书设计   
课题：圆的标准方程                例2 ③-----------
1、圆的标准方程
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2、圆的标准方程求法                练习 ① 图形与书写 
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