换元法在高中数学解题中的应用

摘要：本文讨论了换元法在解决函数最值问题时的若干应用。通过利用换元的思想将根式函数、三角函数、类指数函数的最值问题转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，将这些比较困难的问题化繁为简、化难为易。 

关键词：一元二次函数；最值问题；换元法 

1.引言 

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。因此，我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，形成能力，提高数学素质，掌握解题的思想方法，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

2.求一元二次函数在闭区间上的最值 

一元二次函数是高中数学的重要内容之一，是学生学习函数起点，探究函数性质基础，学习利用数形结合思想来探究函数问题的重要载体。 

下面，我们将利用函数的单调性来求一元二次函数的最值。

例 1：求一元二次函数 ( ) 2 1 2 f x = x - x - 在区间[-3,0] 上的最大值。 

析：本题一元二次函数的系数没有参数，函数图象的开口、对称轴和单调性都是确定的，因此，我们可以利用函数的单调性来求最值。 

解：依题意， 对 ， 在区间 上单调递减，

评：利用一元二次函数的单调性可以简单、快速的解决一元二次函数的最值问题。 

3.利用换元法求函数的最值 

解决数学问题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，下面我们通过利用换元法来解决几类函数的最值问题。 3.1 利用换元法解决根式函数的最值问题。 

例 2：若函数 f (x) = x - 2 x -1 + 2，（x ?1)，求 f (x) 的最小值。 

析：本题考查根式函数的性质及根式计算，由于 y = x 在区间[1，+ ?）上是单调递增函数， y = -2 x -1 + 2 在区间[1，+ ?）上是单调递减函数，若传统方法求解，要先对函数 f (x) 求导数，再利用导数求函数 f (x) = x - 2 x -1 + 2，在区间[1，+ ?）上的单调性，计算量非常大，若利用换元法来解决这个问题将变得简单，下面将利用这两种方法来求解这个问题。 

传统法： 

所以

当 时， 在 上单调递增，

解得 ，所以，当 时， 在 上单调递减，

解：由 ，得 令 ，

换元法： 

( ) (1) 1 2 3 2.

1 ( ) [0,1] [1, )

1 , 1, ( ) 1- 2 2 - 2 3 [0

min

2 2 2

\ = = - + =

= +?

- = = + = + + = + ? +?

f t f

t f t

x t x t f t t t t t t

由 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，

解：设 则 所以 ， ， ），

对

评：利用换元法避免对根式函数求导数这个难点，同时，也减少了复杂的的计算过程，将它转化成学生熟悉的一元二次函数的问题，简化了计算，提高了效率。 

3.2 利用换元法解决三角函数的最值问题。 

例 3：若函数 ( ) sin cos 1 2 f x = x - x + ，求 f (x) 的最大值。

析：本题考查三角函数的基本性质和三角公式的变换，若直接求解，计算量会很大，容易出错，下面将用换元法来解决这个问题。 

在 上单调递增，在 上单调递减

设 所以 又

解：

对

Q评：利用换元法避免了三解公式变的换和大量的计算问题，让它转化成学生熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，简化了计算，提高了效率。 

3.3 利用换元法解决类指数函数的最值问题。 

例 4：若函数 ( ) 4 2 3 1 = - - x x+ f x 在区间[-2,2]上的最小值。

析：本题考查指数函数的性质及指数运算，由于 x y = 4 在区间[-2,2]上是单调递增函数， 1 2 + = - x y 在区间[-2,2]上是单调递减函数，若传统方法求解，要先求函数 f (x) 的导数，再利用导数求函数 ( ) 4 2 3 1 = - - x x+ f x 在区间[-2,2]上的单调性，计算量非常大，下面将利用换元法来求解这个问题。 

在 上单调递减，在 上单调递增

设 所以 又

解：

对

Q评：利用换元法可以避免指数函数求导及解指数方程这一难点，简化了计算，提高了解题的效率。 

4.小结 

本文主要讨论了换元法在解决函数最值问题的若干应用。 运用换元的思想，将根式函数、三角函数、类指数函数的最值问题转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，通过使用换元，用一个字母来代替一个代数式，减少了元的个数，起到了化繁为简、化难为易、简化问题的作用，将原本复杂的问题变得简单，有利于运算，容易求解。 

总之，在高中数学的教学中，充分运用换元的方法，不但可以强化学生的换元思想，又可以使某些问题得到简化，还可以使表面看起来没有关系的知识统一起来。 

参考文献: 

[1]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社,2001. [2]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书：数学必修一[M].

北京：人民教育出版社,2004. 

[3]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书：数学必修四[M].

北京：人民教育出版社,2004. 

[4]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书：数学选修 2-2[M].

北京：人民教育出版社,2005.