浅谈《力学中的数学方法》课程教学改革的思索和探讨

0引言
    《力学中的数学方法》由《数学物理方程》与《数值分析》两门基础技术课程演化而来，涉及内容比较广泛。该课程共包括两部分内容，第一部分为《数学物理方程》中涉及到的三类偏微分方程的基本解析求解方法，即分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法;第二部分为《数值分析》课程中常用的几类数值计算手段，包含线性方程组的求解，非线性方程求根，插值与逼近，数值积分、数值微分以及常微分方程的数值求解等。该课程基本容括了目前工程技术研究建模求解过程中所使用的各种数学手段，是力学类学生需要学习的基础课程之一，也是理工科类本科生乃至研究生从事基础技术研究选择学习的重要课程之一。然而，倘若没有深厚的数学基础和对工程背景的相当了解，该门课程的学习相当困难。为了能让学生初步掌握该课程中所涉及到的几种力学中常用的数学方法，并能运用于实际应用中，笔者从教学内容、教学方法和教学手段等方面进行了教学改革的思索和探讨。
　　1《力学中的数学方法》课程教学现状及存在的问题
    该课程的第一部分内容基本上由理论推导和抽象的数学分析构成，将近6年的实际教学过程中，学生反馈意见表明，该部分内容难度系数较高，概念太过抽象，非常不易掌握。第二部分内容虽然相对容易，但纯粹的黑板板书讲解无法促进学生对该部分内容的掌握和灵活运用。同时，由于更多的数学方法在力学研究过程中得到发展，许多新的理论与技术需要扩充到第二部分内容中来。而现代教育过程中，学生所需要掌握的基础知识增多，许多过去花费大量学时所讲的基本知识，现在只能用少量学时去讲，因此，必须紧跟时代步伐改革教学内容，彻底抛弃“老的但长久被当作经典的”教学手段，比如黑板板书、手写作业方式等。应用以现代计算工具为平台包括交互式图形界面等新型的教学工具作为新式的教学手段。另外，目前的试卷考核方式，并不能真实地反映出学生对该课程的掌握程度，应进一步改善，鼓励学生将该课程运用于解决实际问题。
　　2注意和工程技术的关联，优化教学内容
    前文已经讲到，《力学中的数学方法》所涉及的内容比较广泛，但并不是所有的内容都能在现代科研中得到运用，比如偏微分方程中的行波法，在现代力学问题中已经很少得以运用。相对而言，变分法却得到广泛的应用，需要补充到该课程中来。另外，积分变换法需要有《复变函数》知识的基础，倘若学生并未学过该部分内容，也可略去不讲。以往的教学经验表明，倘若没有《复变函数》的知识做铺垫，在该课程中讲授积分变换法效果欠佳。作为解析方法中最古老和最重要的一种方法，分离变量法以及格林函数法，由于在求解动力学方程以及波动方程中得到普遍应用，需要详细讲解。
    对于数值计算方法这部分内容，非线性方程求根所涉及到的方法很多，有二分法、迭代法(包含简单迭代和牛顿迭代)、牛顿下山法、弦割法等，由于课时有限，应以二分法和牛顿迭代法为主进行讲解。而插值与逼近，以及数值积分乃是历来的讲解重点，因为这部分内容经常在力学问题处理中得以应用。另外，现有的力学问题中，出现微分方程的概率比较大，因此常微分方程的求解方法，必须得到重视。虽然说龙格库塔法不失为一种精度较高求解速度较快的数值计算方法，但更新型的计算方法，如精细积分等也可在该课程中简单介绍。
　　3多媒体教学以及MATLAB软件的运用促进学生对该课程的理解
    针对上节所提出的教学内容，再利用计算机、PowerPoint  (PPT) ,  Flash及MATLAB语言等工具制作CAI课件，适当淡化纯数学推导证明过程，利用具有代表性的实例实时、动态地演示《力学中的数学方法》的课堂讲授内容，这样可以增加学生的学习兴趣，提高其理解能力，学生即可以较好地理解一些抽象的理论原理，又能将理论与应用结合起来，从而提高课堂教学效率。由此，笔者提出传统的黑板板书结合多媒体课件以及MATLAB软件和“实际数学背景—概念—定理—数值计算实例—应用实例”的授课模式。
    例如在讲授分离变量法时，可结合驻波以及叠加原理这一物理背景展开，然后具体讲授分离变量法的实施步骤，最后运用具体算例讲解。如利用PPT讲授分离变量法求解方程
虽然可通过PPT很好地将分离变量法的求解过程演示出来，但学生可能对该叠加解的理解很浅，但若运用绘图软件MATLAB将该解用下图来表示。图中z轴坐标分别表示叠加项中的第1至第5项以及最终的解。由图明显地看出，随着叠加解中子项的增大，其子项在解中所占的分量越来越轻，叠加解收敛性由此可见。借助此图，学生对该解的具体形式乃至叠加原理可有更深人的理解。

　　4实验教学相结合
    为了加深学生对该课程的深人理解和掌握运用，还可以利用学校便利的计算机网络资源将工程实例扩展为软件实验平台，补充硬件实验的不足，学生可以将MATLAB作为学习工具，以积极主动的学习者角色开展研究型学习，并在学习中不断提高自己的创造能力，改变传统的被动接受知识的教学模式。教师也可以通过网络的平台发挥主导作用，与学生互动。
    为了将培养大学生的数学思维能力和数值计算能力落到实处，笔者根据该课程的具体内容设计了8个具体的数值试验:即叠加解的图形演示，算法的稳定性讨论，非线性方程求根，多项式插值，线性方程组的求解，数值积分、常微分方程的求解，振动方程的求解。并将实践教学的实践结果纳人到《力学中的数学方法》课程的考核中。具体做法为实验报告占平时成绩的40%。每次实验报告要求包括以下内容:(1)求解问题的具体描述;(2)数值求解算法;(3) MATLAB程序;(4)数值计算结果;(5)数值算法分析。
    实验报告的具体考核标准为:(1)所建立的数学模型是否合理;(2)数值算法设计是否思路清晰，设计是否合理;(3) MATLAB程序是否编写正确，代码是否规范;(3)数值计算结果是否正确;(4)数值算法分析是否全面，分析是否准确。
    通过教学实践表明，上述所提到的教学改革的尝试已经取得一定的效果。